...
edik. Uning yuqori tartibli hosilalarini topish usuli bilan ham misolda tanishamiz.
Ammo
1
2
2
2
2
b
y
a
x
tenglamadan
2
2
2
2
2
2
b
a
y
a
x
b
kelib chiqishini hisobga
olsak
3
2
2
2
2
2
''
y
a
b
a
a
b
y
yoki
3
2
4
''
y
a
b
y
ga ega bo’lamiz.
V
IV
III
y
y
y
,
,
va hakozo hosilalarni ham shunga o’xshash topish mumkin.
5. Parametrik berilgan funksiyaning yuqori tartibli hosilalari
х ning funksiyasi
у
t
y
t
x
,
tenglamalar bilan parametrik berilgan bo’lsin, bunda
t
x
funksiya
x
t
teskari funksiyaga ega. U holda
'
x
y
hosila
t
t
х
x
y
y
(5.1)
formula yordamida topilishi isbotlangan edi. Ikkinchi hosila
xx
y
ni topish
uchun (22.7) tenglikni
x
t
ning funksiyasi ekanini hisobga olib х bo’yicha
differensiallaymiz.
t
t
tt
t
t
tt
x
t
t
t
x
x
xx
x
x
x
y
x
y
t
x
y
y
y
1
2
Shunday qilib
3
t
tt
t
t
tt
xx
x
x
y
x
y
y
.
y
,
V
IV
y
y ,
va hakozo hosilalarni ham shunga o’xshash topish mumkin.
8-misol.
const
a
t
a
y
t
a
x
.
sin
,
cos
parametrik tenglamalari yordamida berilgan х ning funksiyasi у ning
ikkinchi hosilasini toping.
Yechish.
ctgt
t
a
t
a
t
a
t
a
x
y
y
t
t
x
sin
cos
cos
sin
,
t
a
t
a
t
x
t
t
ctgt
y
t
t
x
t
xx
3
2
2
sin
1
)
cos
(
1
sin
1
1
sin
1
.
6. Yuqori tartibli differensiallar.
Differensiallanuvchi
)
(x
f
y
funksiyani qaraymiz. Bu funksiyani differensiali
dx
x
f
dy
)
(
'
yana х ning funksiyasi bo’ladi. Shuning uchun bu funksiyaning
differensiali haqida gapirish mumkin.
4-ta„rif. Funksiyaning differensialidan olingan differensial shu funksiyaning
ikkinchi tartibli differensiali yoki
ikkinchi differensiali deyiladi va
y
d
2
kabi
belgilanadi.
Shunday qilib,
y
d
dy
d
2
.
5-ta„rif. Funksiyaning ikkinchi tartibli differensialdan olingan differensial
shu funksiyaning uchinchi tartibli differensiali yoki uchinchi differensiali
deyiladi va
y
d
3
kabi belgilanadi.
Shunday qilib,
y
d
y
d
d
3
2
.
6-ta„rif. Funksiyaning (n-1)- tartibli differensialdan olingan differensial shu
funksiyaning n-tartibli differensiali yoki n-differensiali deyiladi va
y
d
n
kabi
belgilanadi.
Shunday qilib,
y
d
y
d
d
n
n
1
.
Yuqori tartibli differensiallarni hosilalar orqali ifodalaymiz.
const
x
dx
ekanini hisobga olib ikkinchi tartibli differensial uchun
2
2
2
''
)
(
''
''
'
'
dx
y
dx
y
dxdx
y
dx
dx
y
dx
y
d
dy
d
y
d
ga ega bo’lamiz.
Shunday qilib,
2
2
'
' dx
y
y
d
.
Bu yerda
2
2
)
(dx
dx
, chunki argument differensiali darajasini yozishda qavsni
tashlab yozish qabul qilingan.
Shunga o’xshash uchinchi tartibli differensial uchun
3
3
2
2
2
2
3
)
(
dx
y
dx
y
dx
dx
y
dx
dx
y
dx
y
d
y
d
d
y
d
tenglikka
ega
bo’lamiz. Demak,
3
3
'
'
' dx
y
y
d
. Bu jarayonni davom ettirib, n-tartibli
differensial uchun
n
n
n
dx
y
y
d
formulani hosil qilamiz, bunda
n
n
dx
dx
.
Yuqori tartibli differensiallarni hisoblash uchun chiqarilgan formulalardan
istalgan tartibli hosilani differensiallarning nisbati sifatida tasvirlovchi
dx
dy
y
'
,
2
2
''
dx
y
d
y
,
3
3
''
'
dx
y
d
y
, ... ,
n
n
n
dx
y
d
y
tengliklarga ega bo’lamiz.
Shu paytgacha
)
(x
f
y
munosabatda х erkli o’zgaruvchi deb qaradik. Endi х
oraliq argument bo’lgan holni qaraymiz, ya‘ni
)
(x
f
y
murakkab funksiyaga ega
bo’laylik, bunda
t
x
. Murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasiga
ko’ra
t
x
t
x
y
y
bo’lgani uchun
dx
y
dx
y
dt
x
y
dt
y
dy
x
t
x
t
'
.
Shunday qilib
)
(x
f
y
funksiyaning differensiali х erkli o’garuvchi
bo’ganda qanday ko’rinishga ega bo’lgan bo’lsa u
x oraliq argument ya‘ni biror
yangi o’zgaruvchining funksiyasi bo’lganda ham xuddi o’sha ko’rinishga ega
bo’lar ekan. Birinchi tartibli differensialning bu xossasi differensial shaklning
invariantligi deb ataladi.
9-misol.
t
y
sin
funksiyaning differensialini toping.
Yechish.
x
t
desak
x
y
sin
murakab funksiyaga ega bo’lamiz. U holda
t
d
t
xdx
dx
x
dx
y
dy
cos
cos
sin
.
Murakkab funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali invariantlik xossasiga
ega emasligini, ya‘ni
2
2
'
' dx
y
y
d
ekanini ko’rsatamiz.
Qaralayotgan holda
const
dt
t
t
d
dx
'
ekanini hisobga olib, ikkinchi
differensial uchun
x
d
y
dx
y
dx
d
y
dx
dy
dx
y
d
dy
d
y
d
2
2
2
'
'
'
)
(
'
'
)
'
(
)
(
tenglikka ega bo’lamiz.
Buni
х erkli o’zgaruvchi bo’lgan holdagi
2
2
'
' dx
y
y
d
bilan taqqoslab ularni
tashqi ko’rinishlari o’xshash emasligini ko’ramiz. Boshqacha aytganda ikkinchi
tartibli differensial invariantlik xossasiga ega emas ekan. Shunga o’xshash yuqori
tartibli differensiallar ham invariantlik xossasiga ega bo’lmasligini ko’rsatish
mumkin.
Invariantlik xossasi faqat birinchi tartibli differensiallar uchun o’rinli.
Do'stlaringiz bilan baham: