Qadimgi Bobildagi tenglamalar Hindistondagi tenglamalar Bikvadrat tenglamalarni o'rganish

Misol :
x 2 - 4x + 3 = 0
x 1,2 \u003d 2 ±
x 1 = 3
x 2 = 1
Javob : x 1 \u003d 3, x2 \u003d 1.
Tenglamani bikvadrat tenglamalarning ildizlari formulasiga almashtiramiz:
x 1,2,3,4 = ,
x 1 \u003d -x2 va x3 \u003d -x4 ekanligini bilib, keyin:
x 1,2 =
x3.4 =
Javob : x 1 , 2 \u003d ± 2; x1.2 =



Bikvadrat tenglamalarni o'rganish
Keling, bikvadrat tenglamani olaylik
ax4 + bx2 + c = 0,
Bu erda a, b, c haqiqiy sonlar va a > 0. Yordamchi noma'lum y = x² kiritib, biz ushbu tenglamaning ildizlarini tekshiramiz va natijalarni jadvalga kiritamiz (1-ilovaga qarang).
2.8 Kardano formulasi
Agar biz zamonaviy simvolizmdan foydalansak, Kardano formulasining kelib chiqishi quyidagicha ko'rinishi mumkin:
x =
Ushbu formula uchinchi darajali umumiy tenglamaning ildizlarini aniqlaydi:
ax3 + 3bx2 + 3cx + d = 0.
Ushbu formula juda og'ir va murakkab (u bir nechta murakkab radikallarni o'z ichiga oladi). Bu har doim ham amal qilmaydi, chunki. bajarish juda qiyin.
2.9 Uchinchi darajali simmetrik tenglamalar
Uchinchi darajali simmetrik tenglamalar shakldagi tenglamalar deyiladi

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

yoki
ax³ + bx² - bx - a = 0 ( 2 )
Bu erda a va b raqamlari berilgan va a ¹ 0.
1 ) tenglama qanday yechilishini ko'rsatamiz .
Bizda ... bor:
ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).
Biz ( 1 ) tenglama tenglamaga ekvivalent ekanligini olamiz
(x + 1) (ax² +(b - a)x + a) = 0.
Demak, uning ildizlari tenglamaning ildizlari bo'ladi
ax² +(b - a)x + a = 0
va soni x = -1
2 ) tenglama ham xuddi shunday yechiladi
ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) ( ax2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² + (b + a)x + a).
1) Misol :
2x³ + 3x² - 3x - 2 = 0

Aniqki, x1 = 1, va

x2 va x3 tenglamaning ildizlari 2x² + 5x + 2 = 0,
Keling, ularni diskriminant orqali topamiz:
x1,2 =
x2 = - , x3 = -2
2) Misol :
5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0
Aniqki, x1 = -1, va
x 2 va x3 tenglamaning ildizlari 5x² + 26x + 5 = 0,
Keling, ularni diskriminant orqali topamiz:
x1,2 =
x2 = -5, x3 = -0,2.