Qadimgi Bobildagi tenglamalar Hindistondagi tenglamalar Bikvadrat tenglamalarni o'rganish

Misol :
x2 + 2x + 6 = 0.
Agar etakchi koeffitsient 1 dan farq qilsa, kvadrat tenglama kamaytirilmagan deb ataladi.
Misol :
2x2 + 8x + 3 = 0.
To'liq kvadrat tenglama - bu uchala haddan iborat bo'lgan kvadrat tenglama, boshqacha aytganda, bu b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan tenglamadir.
Misol :
3x2 + 4x + 2 = 0.
To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - kamida bitta b, c koeffitsienti nolga teng bo'lgan kvadrat tenglama.
Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uchta turi mavjud:
1) ax² = 0 (ikkita bir xil ildizga ega x = 0).
2) ax² + bx = 0 (ikkita ildizga ega x1 = 0 va x2 = - )
Misol :
x2 + 5x = 0
x(x+5)=0
x1=0, x2=-5.
Javob : x1=0, x2= -5.
3) ax² + c = 0
Agar - <0 - tenglamaning ildizlari yo'q.
Misol :
5x2 + 6 = 0
Javob : tenglamaning ildizi yo'q.
Agar – > 0 bo‘lsa, x1,2 = ± bo‘ladi
Misol :
2x2 - 6 = 0
x 2 \u003d ±
x 1,2 =±
Javob : x 1 , 2 \u003d ±
Har qanday kvadrat tenglama diskriminant (b² - 4ac) orqali echilishi mumkin. Odatda b² - 4ac ifodasi D harfi bilan belgilanadi va ax² + bx + c = 0 kvadrat tenglamaning diskriminanti (yoki ax² + bx + c kvadrat uch hadining diskriminanti) deb ataladi.
Misol :
x 2 +14x - 23 = 0
D \u003d b2 - 4ac \u003d 144 + 92 \u003d 256
x1,2 =
x1 =
x2 =
Javob : x1 = 1, x2 = - 15.
Diskriminantga qarab, tenglama yechimga ega bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.
1) Agar D < 0 bo'lsa, uning yechimi yo'q.
2) Agar D = 0 bo'lsa, u holda tenglamaning ikkita mos keladigan yechimlari x1,2 = bo'ladi
3) Agar D > 0 boʻlsa, uning ikkita yechimi boʻlib, ular quyidagi formula boʻyicha topiladi:
x1,2 =
2.2 X uchun juft koeffitsient formulalari
Biz kvadrat tenglamaning ildizlari ekanligiga o'rganib qolganmiz
ax² + bx + c = 0 formula bo'yicha topiladi
x1,2 =
Ammo matematiklar o'zlarining hisob-kitoblarini osonlashtirish imkoniyatidan hech qachon o'tib ketmaydilar. Ular bu formulani b koeffitsienti b = 2k ko'rinishda bo'lganda, xususan, agar b juft son bo'lsa, soddalashtirish mumkinligini aniqladilar.
bx + c = 0 kvadrat tenglama b = 2k ko'rinishdagi b koeffitsientiga ega bo'lsin. Formulamizda b o'rniga 2k raqamini qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:
x1,2=
=
Demak, ax² + 2kx + c = 0 kvadrat tenglamaning ildizlarini quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:
x1,2=
Misol :
5x2 - 2 x + 1 = 0

x1,2=

Bu formulaning afzalligi shundaki, bu kvadratdan b soni emas, balki uning yarmi, 4ac emas, oddiygina ac ayiriladi va nihoyat, maxrajda 2a emas, oddiygina a mavjud.
Agar kvadrat tenglama berilgan bo'lsa, bizning formulamiz quyidagicha ko'rinadi:
x1,2=-k ± .