2. Algebraning asosiy teoremasi. Kubik tenglama va Kardano formulasi

Kompleks son va uning turli shakllari, kompleks sonlar ustida amallar


Reja
1. Kompleks son va uning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli shakllari hamda ular ustida amallar.
2. Algebraning asosiy teoremasi.
3. Kubik tenglama va Kardano formulasi.
4. Yuqori darajali tenglamalar.
Tayanch ibora va tushunchalar
Kompleks son, kompleks sonning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli shakllari, kompleks sonlar ustida amallar, Muavr formulasi, Eyler formulasi, algebraning asosiy teoremasi, kubik tenglama va Kardano formulasi, yuqori darajali tenglamalarni yyechish usullari.


1.Kompleks son va uning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli shakllari hamda ular ustida amallar.
Fan va amaliyotning rivojlanishi haqiqiy sonlar to’plamining yetarli emasligini ko’rsatdi. Masalan, tashqi ko’rinishi juda sodda , tenglamalar haqiqiy sonlar to’plamida yechimga ega emas. Demak, istalgan algebraik tenglamani yyechish uchun haqiqiy sonlar to’plami yetarli bo’lmay qoladi.
Bundan tashqari elektronikada va fizikaning turli bo’limlarida murakkab tabiatli kattaliklar qaraladiki, ularni haqiqiy sonlar tushunchasi qamray olmaydi. Shu sababli sonlar tushunchasini kengaytirish ehtiyoji yuzaga keldi.
1.Ta’rif. va haqiqiy sonlar, esa( )qandaydir bir simvol bo’lsa, (1)
ifodaga kompleks son (algebraik shakli) deyiladi, bunda quyidagi shartlar qabul qilingan deb hisoblanadi:
1) ; va ; ;
2) faqat , bo’lgandagina , bo’ladi;
3) ;
4) .
kompleks sonda , bo’lsa, mavhum son deyiladi. son mavhum birlik deyiladi . va sonlar kompleks sonning mos ravishda haqiqiy va kompleks qismi deyiladi va , ko’rinishda belgilanadi . bulsa, - haqiqiy son, agar bo’lsa, sof mavhum son bo’ladi. Mavhum qismlarining ishorasi bilangina farq qiluvchi va kompleks sonlar qo’shma kompleks sonlar deyiladi .
Agar va ikkita kompleks son berilgan bo’lsa, ular ustida algebraik amallar quyidagicha bajariladi:




Kompleks sonlarni darajaga ko’tarish ikkihadni darajaga ko’tarish
kabi bajariladi, sonnining darajalari quyidagi formulalar bo’yicha aniqlanadi. va h.k.
Umuman, , . (3)


1-misol. va sonlarning yig’indisi va ayirmasini toping

Yechish. (2) formulaning birinchi va ikkinchisidan quyidagilarni topamiz:

,
.
2-misol. va kompleks sonlar ko’paytmasini toping.
Yechish. (2) formulaga ko’ra quyidagini hosil qilamiz:

Har bir kompleks son geometrik jihatdan koordinatalar tekisligining nuqtasi yoki vektori bilan tasvirlanadi.
Kompleks son tasvirlanadigan tekislik kompleks tekislik deyiladi.
kompleks soniga mos keluvchi nuqtaning holatini va qutb koordinatalari bilan ham aniqlash mumkin.
Bunda koordinatalar boshidan nuqtagacha bo’lgan masofaga, soni kompleks sonning moduli deyiladi va bilan belgilanadi; vektorning o’qining musbat yunalishi bilan hosil qilgan burchak kompleks sonning argumenti deyiladi va kabi belgilanadi.
kompleks son uchun quyidagi formula o’rinlidir:
(4)
bunda ning qiymati shartni qanoatlantiradi.
3-misol. kompleks sonning moduli va argumentini toping.
Yechish. bo’lganligi uchun tenglamadan argumentni topamiz:
.
Shunday qilib,
Kompleks sonning ko’rinishdagi ifodasi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi.
Kompleks sonning ko’rinishdagi ifodasi uning trigonometrik shakli deyiladi.
Trigonometrik ko’rinishda berilgan kompleks sonlar ustida amallar quyidagicha bajariladi :

(5)


(6)
(7)


, (8)
bunda k=0,1,2,..,(n-1).
(7) va(8) formulalarga Muavr formulalari deyiladi.
Kompleks sonning ko’rsatkichli shakli

ko’rinishda bo’lib,


(9)
(9) formulaga Eyler formulasi deyiladi.