2. Algebraning asosiy teoremasi. Kubik tenglama va Kardano formulasi

4-misol. sonni sakkizinchi darajaga ko’taring.
Yechish. Berilgan sonni trigonometrik formada tasvirlaymiz:
Muavr formulasiga ko’ra quyidagini hosil qilamiz:

2. Algebraning asosiy teoremasi.
Ko’phadlarning ildizlari bilan ish ko’rilganda, har qanday ko’phad ham ildizga ega bo’laveradimi? degan savol tug’uladi. Koeffitsientlari haqiqiy bo’lib, haqiqiy ildizga ega bo’lmagan ko’phadlar mavjudligi ma’lum, ana shunday ko’phadlardan biridir. Koeffitsientlari ixtiyoriy kompleks (haqiqiy koeffitsientli ko’phadlar bularning xususiy holidir) sonlardan iborat bo’lgan ko’phadlar ichida ham ildizga ega bo’lmaganlari mavjudmi degan savol tug’iladi? SHunday ko’phadlar majud bo’lganda edi, kompleks sonlar sistemasini kengaytirishga to’g’ri kelar edi. Ushbu kompleks sonlar algebrasining asosiy teoremasi o’rinlidir.
Teorema. Darajasi birdan kichik bo’lmagan, istalgan son koeffitsientli, har qanday ko’phad hech bo’lmaganda , umumiy holda bitta kompleks ildizga ega bo’ladi.
Bu teorema matematikaning eng katta yutuqlaridan biri hisoblanadi va fanlarning xilma-xil sohalarida tatbiq qilinadi. Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
Natija. - darajali istalgan kompleks koeffitsientli ko’phad, xuddi ta kompleks ildizga ega bo’ladi. Bunda ildizlar necha karrali bo’lsa, xuddi shuncha marta sanaladi.
Algebraning asosiy teoremasi bo’lganda ham o’rinli, chunki 0- darajali ko’phad ildizlarga ega emas. Algebraning asosiy teoremasi darajasi aniqlanmagan nolg’ ko’phadgagina (nolg’ soniga) qo’llanishi mumkin emas.
3. Kubik tenglama va Kardano formulasi.
1). Ushbu tenglama
(10)
kubik tenglama deyiladi. lar (10) tenglamaning ildizlari bo’lsa, tenglamani

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan

bo’ladi.

tenglama almashtirish yordami bilan

ko’rinishga keltiriladi. tenglama ushbu


(11)

Kardano formulasi bilan yechiladi:

1) bo’lsa, u holda bo’ladi, bunda va lar va ildizlarning haqiqiy qiymatlari;

2) bo’lsa , u holda bo’ladi;

3) bo’lsa , u holda bo’ladi, bundagi

.
5-misol. tenglamaning yechimlari

ifodalarni tuzib, tekshirilsin.
Yyechish. berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:


ifodalarning qiymatlarini tekshiramiz:

1.