Ptolomey va Menelay teoremalari Kiri sh

Ptolomey va Menelay teoremalari

K i r i sh

• Ma’lumki, hozirgi davrda maktablarga o’quv jarayoniga ilg’or pedagogik texnologiyalar kirib kelmoqda.Ularni amalda tadbiq etish va qo’llash o’qituvchilarning asosiy vazifalaridan biridir. Shularni hisobga olib mazkur malaka ishida ko’pburchaklarni o’rganishda bu ishni amalga oshirish muammolari atroflicha muhokama etilib, ularni qo’llashga doir zaruriy xulosa va misollar keltirilgan.
• Ko’pburchaklarni o’qitish jarayonida o’quvchilarga asosiy tushunchalarni to’g’ri tushuntirish, uning tadbiqlarini ular ongiga yetkaza olish, ularning fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish matematika o’qitish muvaffaqiyatini ta’minlabgina qolmay, balki o’quvchilarning bilish va tafakkur qobiliyatlarini rivojlantirish uchun ham xizmat qiladi. Bu hol esa yangi zamonaviy texnologiyalarga tayangan holda ko’pburchaklarni o’rganish darslarini o’tishni talab etadi. Shu sababli malaka ishida ko’pburchaklarni o’rganishning nazariy asoslari bilan birga ko’rgazmali va noan’anaviy usullarni qo’llash xususiyatlari hamda zarur dars ishlanmalari hamda masalalar yechish bo’yicha imkoniyatlari batafsil bayon etilgan.

Ko’pburchaklar haqida ma’lumot

• A1, A2,…,An nuqtalardan va ularni tutashtiruvchi A1, A2,A2,A3,…,An-1 An kesmalardan iborat figura A1, A A3,…An siniq chiziqlar deb ataladi. A1, A2,…,An nuqtalar siniq chiziqning uchkari, A1, A2 ,A2A3,..,An-1 An kesmalar esa siniq chiziqning bo’g’inlari deb ataladi. Agar siniq chiziq o’z-o’zi bilan kesishmasa, bunday siniq chiziq sodda siniq chiziq deyiladi. 18-a rasmda sodda siniq chiziq, 18-b rasmda esa o’z-o’zi bilan kesishadigan (B nuqtada ) siniq chiziq ko’rsatilgan. Siniq chiziqning hamma bo’g’inlari uzunliklarining yig’indisi shu siniq chiziqning uzunligi deyiladi.

13.1- teorema. Siniq chiziqning uzunligi oxirlarini tutashtiruvchi kesma uzunligidan kichik emas.

• Ko’burchakning qo’shni bo’lmagan uchlarini tutashtiruvchi kesmalar ko’pburchakning diagonallari deyiladi. n uchli ko’pburchak va shuning bilan birga n tomonli ko’pburchak n burchak deb ataladi (to’tburchak, beshburchak,..).
• Tekislikning ko’pburchak bilan chegaralangan chekli qismi yassi ko’pburchak yoki burchakli soha deyiladi

13.2-teorema. Qavariq n burchak burchaklarning yig’indisi 1800(n-2) ga teng.

• Isboti. n=3 da teorema o’rinli. A1, A2 A3...An - berilgan qavariq ko’pburchak va n>3 bo’lsin n-3 ta diogonalni o’tkazamiz: Isboti. n=3 da teorema o’rinli. A1 A3, A1A4. . . . ,A1An-1. Ko’pburchak qavariq bo’lgani uchun bu diagonallar uni n>2 ta uchburchakka bo’ladi: ko’pburchak burchaklari yig’indisi hamma uchburchak burchaklarining yig’indisiga teng. Har bir burchak burchaklarining yig’indisi 1800 ga teng, bunday burchaklar esa n-2 ta. Shu sababli qavariq n burchakning burchaklari yig’indisi 1800. (n-2) ga teng. Teorema isbotlandi.

Muntazam ko’pburchaklar. Hamma tomonlari teng va hamma burchaklari teng bo’lgan qayariq ko’pburchak muntazam ko’pburchak deyiladi.

• Hamma uchlari biror aylanada yotgan ko’pburchak aylanaga ichki chizilgan ko’pburchak deyiladi. Hamma tomonlari biror aylanaga o’ringan ko’pburchak aylanaga tashqi chizilgan ko’pburchak deyiladi.
• 13.3-teorema. Muntazam qavariq ko’pburchak aylanaga ichki chizilgan bo’lishi mumkin.

Figuralarning o’xshashliklari

• Agar F figuraning figuraga almashtirishda nuqtalar orasidagi masofalar bir xil son marta o’zgarsa, bunday almashtirish o’xshashlik almashtirish deyiladi.
• teorema. Gomotetiya o’xshashlik almashtirishidir.
• Isboti. O- gomotetiya markazi, k esa gomotetiya koeffisienti, X va Y- figuraning ikkita ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin (29-rasm).
• Gomotetiyada X va Y nuqtalar mos ravishda OX va OY nurlardagi nuqtalarga o’tadi, bunda tengliklar o’rinli bo’ladi. Bundan

Ptolomey va Menelay teoremalari

• Burchak tekislikni ikki qismga bo’ladi. Qismlarning har biri yassi burchak deyiladi. rasmda tomonlari a va b ga teng yassi burchaklardan biri shtrixlab ko’rsatilgan. Umumiy tomonlari bo’lgan yassi burchaklar to’ldiruvchi yassi burchaklar deyiladi.

Aylanaga ichki chizilgan burchak mos markaziy burchakning yarmiga teng.

• Ptolomey va Menelay teoremalari. Bizda berilgan bo’lib, P- uning ichidan olingan ixtiyoriy uchburchak bo’lsin. P nuqtadan BC, CA va AB tomonlarga tushirilgan perpendikulyar PA1, PB1 va PC1 bo’lsin. Hosil bo’lgan uchburchakka P nuqta uchun pedal uchburchak deyiladi.
• Teorema. Agar pedal nuqtadan qirralarigacha bo’lgan masofalar x,y,z bo’lsa, u holda pefal uchburchak tomonlari ga teng bo’ladi.

Teorema. (Ptolemey). Aylanaga ichki chizilgan to'rtburchak diagonallarining ko'paytmasi to'rtburchak qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalariyig'indisiga teng