Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar

2-ta’rif. Agar _{ } dastaning har bir to’g’ri chiziqni _{ } dastaning unga mos to’g’ri chizig’iga o’tkazuvchi proektiv dastalar deyiladi.

Agar ikkita dastaning mos to’g’ri chiziqlari bitta to’g’ri chiziqda kesishsa , u holda bunday dastalar perspektiv dastalar deyiladi (65-chizma).

1-teorema. Perspektiv bo’lmagan ikkita proektiv dasta mos to’g’ri chiziqlarining kesishgan nuqtalari to’plami ikkinchi tartibli (aynimaydigan) chiziqni tashkil qiladi.

Isbot. Tekislikda _{ } proektiv koordinatalar sistemasi va markazlari _{ } nuqtalarda bo’lgan ikkita proektiv dasta berilgan bo’lsin (66-chizma).

Dastalar proektiv, shuning uchun _{ } to’g’ri chiziq o’z-o’ziga o’tmaydi. Agar _{ } to’g’ri chiziqni _{ }dastaga tegishli deb olsak, _{ } dastadan qandaydir _{ } to’g’ri chiziq unga mos keladi, agar _{ } to’g’ri chiziqni _{ } dastaga tegishli deb olsak, _{ } dastadan _{ } to’g’ri chiziq mos keladi. Dastaga tegishli _{ }to’g’ri chiziqlardan tashqari, ikkita mos _{ } to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtasini _{ } bilan _{ } bilan belgilaylik. U holda _{ } proektiv almashtirishda:

_{ }, _{ }, _{ } (1)

_{ } dastani _{ } to’g’ri chiziq bilan, _{ } dastani _{ } to’g’ri chiziq bilan kesib, dasta chiziqlari bilan to’g’ri chiziq nuqtalari orasida mos ravishda _{ } perspektiv mosliklarni hosil qilamiz. _{ } proektiv almashtirishda (1) ni e’tiborga olsak,

_{ }, _{ }, _{ } (2)

hosil bo’ladi, bu yerda _{ }, _{ }, _{ } dastaning ixtiyoriy to’g’ri chizig’i, _{ } esa _{ } dastagi uning obrazi bo’lsin, _{ }, _{ }, _{ }, u holda _{ } Proektiv almashirishda to’rtta nuqtaning murakkab nisbati o’zarmaydi:

Agar _{ } nuqta _{ } reperga nisbatan_{ } koordinatlarga ega bo’lsa, _{ } reperga esa _{ }, _{ } koordinatlarga, _{ } reperga wsa _{ }, _{ } koordinatlarga ega bo’ladi.

_{ }, _{ }

(3)ni e’tiborga olib,

_{ } yoki _{ }

tenglamaga ega bo’lamiz. _{ } nuqtaning koordinatalari uchun bir jinsli ikkinchi darajali tenglama hosil qildik. Demak, _{ } nuqtalarning geometric o’rin ikkinchi tartibli chiziqdan iborat.

2-teorema (teskari teorema). _{ } markazlari ikkinchi tartibli chiziqda yotuvchi ikkita dastaning mos to’g’ri chiziqlari o’sha ikkinchi tartibli chiziqda kesishsa, dastalar proektivdir.