Proektiv tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar

1-ta’rif. Agar _{ } bo’lsa, u holda _{ } nuqtalar ikkinchi tarkibli _{ } chiziqqa nisbatan garmonik qo’shma (qovushgan) nuqtalar deb aytiladi.

36-paragraf. 1-p. (3) fomulaga ko’ra

bundan:

<sub>   

 </sub> nuqtalar _{ } chiziqda yotadi, shuning uchun _{ } va _{ } sonlarni

Kvadrat tenglamalarning ildizlari deb olish mumkin. Kvadrat tenglama ildizlari yig’indisi nolga teng. Viet teoremasiga ko’ra”

Shunday qilib, _{ } nuqtalar _{ } chiziqqa nisbatan qo’shma bo’lishi uchun (3) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir. Agar _{ } nuqta _{ } da yotsa, bu nuqta _{ } chiziqqa nisbatan o’z-o’ziga qo’shma bo’ladi.

2-ta’rif. Ikkinchi tartibli chiziqqa nisbatan _{ } nuqtaga (yoki _{ } nuqtaga) qo’shma bo’lgan barcha nuqtalarning geometrik o’rnini _{ } nuqtaning (yoki _{ } nuqtaning) _{ } chiziqqa nisbatan polyarasi deyiladi. _{ } nuqtaning esa polyaraning _{ } chiziqqa nisbatan qutbi deyiladi.

Ixtiyoriy _{ } nuqta _{ } nuqtaning polyarasda yotishi uchun

_{ } (4)

Qo’shmalik sharti o’rinli bo’lishi kerak. Bu tenglama _{ } nuqtaning _{ }chiziqqa nisbatan polyara tenglamasidir.

Qutb va polyara quyidagi xossalarga ega.

1. 
   Tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaning _{ }chiziqqa nisbatan polyarasi to’g’ri chiziqdir.
   

Haqiqatdan ham, (4) tenglama _{ },_{ },_{ } o’zgaruvchilarga nisbatan birinchi darajali bir jinsli. Shu sababli _{ } nuqtaning polyarasi to’g’ri chiziqdan iborat.

(4) polyara tenglamasining koeffitsientlarini

_{ } (5)

ko’rinishda belgilasak, polyara tenglamasini

_{ } (6)

kabi yozish mumkin. Agar polyara tenglamasi berilsa, (5) tenglamalar sistemasini _{ } larga nisbatan yechib, qutb nuqta _{ } ning koordinatalarini topamiz.

2. 
   Agar _{ } nuqtaning polyarasi _{ } nuqtadan o’tsa, _{ } nuqtaning polyarasi _{ } nuqtadan o’tadi (63-chizma).
   

Haqiqatan ham,_{ } nuqtaning polyarasi

tenglamaga ega.

_{ } nuqtaning polyarasi

tenglamaga ega.

Agar _{ } nuqtaning polyarasi _{ } nuqtadan o’tsa,

bo’ladi, _{ } ni e’tiborga olib,

yozishimiz mumkin, ya’ni _{ } nuqtaning polyarasi _{ } nuqtadan o’tadi.

1-natija.Agar nuqta to’g’ri to’g’ri chiziq bo’ylab harakat qilsa, bu nuqtaning polyarasi hamma vaqt to’g’ri chiziqning qutbidan o’tadi. Aksincha, agar biror to’g’ri chiziq berilgan nuqtadan o’tib, shu nuqta atrofida aylansa, u holda to’g’ri chiziqning qutbi berilgan nuqtaning polyarasi ustida harakatlanadi.

Ta’rif . Ikkita to’g’ri chiziqdan biri ikkinchisining qutbidan, ikkinchisi birinchisining qutbidan o’tsa, u holda bunday to’g’ri chiziqlar qutbiy qo’shma chiziqlar deb ataladi.

Masala. Oval tipidagi ikkinchi tartibli chiziq _{ } va _{ } nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan nuqtaning polyarasini yasang.

Yechish. _{ } nuqta orqali _{ } chiziqni ikki nuqtada kesuvchi ikkita to’g’ri chiziq o’tkazamiz, kesishga _{ } nuqtalar _{ } chiziqqa ichki chizilgan to’liq to’rt uchlikning uchlari, _{ } va _{ } nuqtalar diagonal nuqtalari bo’ladi (64-chizma).

To’liq to’rt uchlikning garmonik xossalariga asosan _{ }, _{ }. Demak, _{ } nuqtalar _{ } nuqtaning polyarasida, ya’ni to’g’ri chiziqda yotadi.

Ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi

Ta’rif. Agar uch uchlikning har bir uchi, ikinchi tartibli chiziqqa nisbatan, qarshisida yotgan tomonining qutbi bo’lsa, bunday uch uchlik avopolyar uch uchlik deyiladi. _{ } ta’rifga ko’ra, avtopolyar uchburchakdir (63-chizma).

Tekislikda ikinchi tartibli chiziq

_{ } (1)

Tenglama bilan berilgan bo’lsin. Agar _{ } kooedinat uchburchak chiziqqa nisbatan avtopolyar bo’lsa, _{ }, _{ }, _{ } nuqtalar o’zaro qo’shma bo’ladi. Bu nuqtalarning qo’shmalik shartlaridan foydalanib, _{ } koeffitsientlari nolga aylantiramiz:

U holda birinchi tenglama ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:

_{ } (2)

Bu tenglamaning noldan farqli koeffitsientlarini

_{ } , _{ } , _{ } , _{ } (3)

proektiv almashtirish yordamida _{ } aylantirish mumkin (masalan,

_{ } , _{ }

Shunday qilib, proektiv koordinatalar sistemasini alohida tanlab olish bilan ikinchi tartibli ixtiyoriy chiziq tenglamasini quyidagi kanonik ko’rinishlarning biriga keltirish mumkin:

1. 
   _{ } - nol chiziq;
   
2. 
   _{ } – oval chiziq;
   
3. 
   _{ } - bir juft mavhum to’g’ri chiziq;
   
4. 
   _{ } - bir juft haqiqiy to’g’ri chiziq;
   
5. 
   _{ } – ustma-ust tushadigan bir juft to’g’ri chiziq.
   

Shteyner, Paskal va Brnanshon teoremalari