Практикум по статистике. (2 издание). Тащкент изд. «Iqtisod-moliya»

Arifmetik o’rtacha – o’rtachaning amaliyotda keng qo’llaniladigan turidir. U o’z navbatida, oddiy va tortilgan ko’rinishda bo’ladi.

Oddiy arifmetik o’rtacha – o’rtalashtirilayotgan variant(had)lar takrorlanmaydigan paytda qo’llaniladi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:

_{x } x₁  x₂  x₃      x_n

n

_  x _,

n

bu yerda:

x₁ , x₂ , x₃ ,..., x_n

lar o’rganilayotgan belgining variantlari; n -variantlar soni; x -

o’rtacha miqdor.

1. 
   misol. Kichik korxonada 10 ta ishchi ishlaydi va ular fevral oyida quyidagicha maosh olishgan (ming so’mda): 375, 373, 370, 462, 460, 455, 457, 548, 544, 560.
   

Yechish.

O’rtacha ish haqini hisoblash uchun variantlarning yig’indisini ularning soniga bo’lamiz:

x  ^{ x} 

n

x₁  x₂  x₃  x₄  x₅  x₆  x₇  x₈  x₉  x_{10 }

10

_D 375  373  370  462  460  455  457  548  544  560 _ 4604 _{ 460,4}

ming so'm

ema

10 10

k, kichik korxonada ishchilarning o’rtacha oylik ish haqi 460,4 ming so’mni tashkil etgan.

Tortilgan arifmetik o’rtacha oddiy arifmetikdan farq qilmaydi. U faqat ishni tezlashtirish yoki osonlashtirish maqsadida qo’llaniladi. Tortilgan arifmetik bo’yicha o’rtacha miqdorni hisoblash uchun berilgan variantlar x₁ , x₂ , x₃ ,...., x_n ni ularning

chastotalariga (variantlarning qaytarilishi yoki uchrashish tezligi chastota deyiladi) ko’paytirib, olingan natijani chastotalar yig’indisiga bo’lish yo’li bilan hisoblanadi.

_{x } x₁  f₁  x₂  f₂  x₃  f₃      x_n  f_n

f₁  f₂  f₃      f<sub>n

</sub>  x  f

 f

2. 
   misol. Fermer xo’jaliklarida paxta ekin maydoni va bir gektardan olingan hosil
   

bo’yicha quyidagi ma’lumotlar berilgan:

t/r	Hosildorlik(x), ts/ga	Ekin maydoni(f), ga
1	22	60,0
2	24	56,0
3	26	45,0
4	30	50,0
5	32	48,0

Yechish.

Barcha fermer xo’jaliklari bo’yicha o’rtacha hosildorlik quyidagicha aniqlanadi:

_{x }  x  f _ 22  60  24  56  26  45  30  50  32  48 _



 f 60  56  45  50  48

_ 1320  1344  1170  1500  1536

60  56  45  50  48

_ 6870

259

 26,5s / ga

Kko’p paytlarda o’rtacha miqdorlarni interval(oraliq)li variatsion qator ko’rsatkichlari asosida hisoblashga to’g’ri keladi.

3. 
   misol. Oziq-ovqat mahsulotlari bilan savdo qiluvchi do’konlarda yil davomida bir sotuvchiga to’g’ri kelgan tovar aylanmasi va har qaysi guruhdagi sotuvchilar soni to’g’risida quyidagi ma’lumotlar berilgan:
   

Bir sotuvchiga to’g’ri keladigan tovar aylanmasi bo’yicha guruhlar, mlnso’m	Sotuvchilar soni, kishi
140 gacha 140-180 180-220 220-260 260 dan yuqori	12 20 24 14 10
Jami	80

Yechish.

Bir sotuvchiga to’g’ri keladigan tovar aylanmasi bo’yicha arifmetik o’rtachani dastlab har bir guruh bo’yicha, so’ngra barcha guruhlar uchun hisoblaymiz. Misolimizda birinchi va oxirgi guruhlarning intervallari ochiq ko’rinishda bo’lganligi tufayli birinchi guruh oralig’i ikkinchi guruh oralig’iga, oxirgi guruhniki esa o’zidan

oldingi guruhnikiga shartli ravishda teng, deb qabul qilinadi. Demak, birinchi guruh 100 bilan (140-40) boshlangan va oxirgi guruh 300 bilan (260+40) tugagan. U holda har bir guruh uchun o’rtacha intervallarning quyi va yuqori darajalari yig’indisining yarmiga teng bo’ladi.

x1 ^

x_k x_þ

 ^{100 140}  ²⁴⁰  120mln.so'm

2 2 2

va h.k.

bu yerda:

^x1 ^{– interval o’rtachasi (birinchi guruh);}

x_k -intervalning quyi chegarasi;

x_ю -

intervalning yuqori chegarasi.
Intervalli qatorda o’rtachani aniqlash

Bir sotuvchiga to’g’ri keladigan tovar aylanmasi bo’yicha guruhlar, mln so’m	Intervalning o’rtacha qiymati (x), mln so’m	Sotuvchilar soni (f), kishi	Variant va chastotalarning ko’paytmasi (x f)
100-140 140-180 180-220 220-260 260-300	120 160 200 240 280	12 20 24 14 10	1440 3200 4800 3360 2800
Jami:	-	80	15600

Interval o’rtachasini hisoblangandan keyin, variant (x)lar bilan sotuvchilar soni

(f) o’zaro ko’paytiriladi va bu ko’paytma yig’indisi (∑x f)ni sotuvchilar soni (f)ga bo’lib, bir sotuvchiga to’g’ri keladigan o’rtacha tovar aylanmasini aniqlaymiz:
_{x }  xf _ 120 12  160  20  200  24  240 14  280 10 _ 1440  3200  4800  3360  2800 _



 f

_ 15600 _{ 195}

80

12  20  24  14  10 80

mln so'm

Demak, do’konlarda har bir sotuvchiga to’g’ri keladigan o’rtacha tovar aylanmasi 195 mln so’mni tashkil qilgan.

Garmonik o’rtacha. Statistikada arifmetik o’rtacha bilan bir qatorda garmonik o’rtacha ham keng qo’llaniladi. Garmonik o’rtacha arifmetik o’rtachaga teskari miqdor bo’lib, u quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

xgarm ^{ n}

_ 1

õ

oddiy ko’rinishda;

^õgarm ^

 õf

_ xf

x

_  M

M

x

tortilgan ko’rinishda.

4. 
   misol. Smena (8 soat) davomida bir xildagi bitta detalga ishlov berish uchun 1-tokar 10 minut, 2-tokar 15 minut, 3-tokar 20 minut ish vaqti sarf qildi. Bitta detalga ishlov berish uchun o’rtacha sarf qilingan vaqtni oddiy garmonik o’rtacha formulasi yordamida hisoblaymiz.
   

Yechish.

õgarm ^{ n }

1  1  1

 13,8min ut

_ 1 1

x 10

_ 1 _ 1

15 20

Berilgan yoki keltirilgan variatsion qatorlarda, chastotalar har bir variant bo’yicha noma’lum bo’lsa, o’rtacha miqdorni hisoblashda tortilgan garmonik o’rtacha formulasidan foydalaniladi.

Misol uchun, o’rtacha baho quyidagi nisbat bilan ifodalanadi:

¡ðòà÷à

áàõî

_ Ñîòèøäàí Ñîòèëãàí

óìóìèé áèðëèêëàð

òóøóì ñîíè

(ñóììà) (ìèêäîð)

5. 
   misol. Dehqon bozorlarida “A” mahsulotning bahosi va sotilgan summasi bo’yicha quyidagilar ma’lum:
   

Bozorlar	Bir birlik mahsulotning bahosi (x), so’m	Sotilgan summasi (xf=M), so’m
I	2000	400000
II	3000	300000

Bir birlik mahsulotning o’rtacha bahosini aniqlash zarur.

Yechish.

Bu yerda oddiy arifmetik o’rtachani qo’llab bo’lmaydi, chunki chastotalar noma’lum. Yuqorida keltirilgan sxemaning sur’atida sotilgan summa berilgan, buning o’zi baho va miqdorning ko’paytmasidan tashkil topadi (xf). Sxemaning maxrajida sotilgan birliklar soni (chastotalar) berilgan, lekin u bizning misolda noma’lum. Uni quyidagicha hisoblash mumkin:

_{f }  xf _,

 x

O’rtacha miqdor (baho)ni tortilgan garmonik o’rtacha formulasi bilan hisoblash mumkin:

xdarm ^{  xf   M}

_ M₁  Ì

₂  ...  Ì _n

_ xf _ M

Ì _{1 } Ì

²  ... ^{Ì n}

x x õ₁ õ₂ õ_n

^xgarm ^

400000  300000


400000 _ 300000

_ 700000

2000  1000

 ⁷⁰⁰⁰⁰⁰  2333,3 so'm

3000

2000 3000

Agarda oddiy arifmetikni qo’llab o’rtacha bahoni aniqlaganimizda, u 2500 so’mni tashkil qilar edi.

Statistikada geometrik o’rtacha va xronologik o’rtacha miqdorlar ham keng qo’llaniladi. Ularni hisoblash usullarini dinamika qatorlari mavzusida ko’rib chiqamiz.

Arifmetik o’rtachaning xossalaridan foydalangan holda, intervalli qatorlarda o’rtacha miqdorni soddalashtirilgan “shartli moment”usulida hisoblash mumkin. Buning uchun to’plam guruhlangan va guruhlarning intervallari teng bo’lishi zarur. Bunda quyidagi formuladan foydalanamiz:

,bu yerda A va i – lar ixtiyoriy sonlar.

Hisoblash ishlarini osonlashtirish maqsadida A son sifatida eng ko’p uchraydigan variant qiymati, i soni etib esa interval uzunligi qabul qilinadi.
3-misol ma’lumotlari asosida o’rtacha miqdorni “shartli moment” usulida hisoblaymiz (A=200, i=40):

“Shartli moment” usulida o’rtachani hisoblash

Interval o’rtacha qiymati(x), mln so’m	Sotuvchilar soni (f), kishi	x-A=x-200		(
120 160 200 240 280	12 20 24 14 10	-80 -40 0 40 80	-2 -1 0 1 2	-24 -20 0 14 20
∑	80	-	-	-10

Jadval ma’lumotlariga ko’ra formulaga asoslanib o’rtacha miqdorni quyidagicha hisoblaymiz: