Практикум по статистике. (2 издание). Тащкент изд. «Iqtisod-moliya»

1-misol. Fakultet II kurs talabalarining yoshi bo’yicha taqsimoti quyidagi ma’lumotlar bilan ifodalanadi:

Talabalarning yoshi bo’yicha guruhlari, yil	17	18	19	20	21	22	23	Jami
Talabalar soni, kishi	10	70	80	100	120	160	90	630

Variatsiya ko’rsatkichlarini aniqlang.

Yechish.
Variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblashni soddalashtirish uchun yuqorida berilgan ma’lumotlar bo’yicha quyidagi jadvalni tuzamiz:

Talabalarning yoshi bo’yicha guruhlari, yil	Talabalar soni, kishi
17 18 19 20 21 22 23	10 70 80 100 120 160 90	170 1260 1520 2000 2520 3520 2070	3,7 2,7 1,7 0,7 0,3 1,3 2,3	37 189 136 70 36 208 207	13,69 7,29 2,89 0,49 0,09 1,69 5,29	136,9 510,3 231,2 49,0 10,8 270,4 476,1
Jami	630	13060	-	883	-	1684,7

Variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblash tartibi

Talabalarning o’rtacha yoshini aniqlash uchun tortilgan o’rtacha arifmetik formula qo’llaniladi:

Endi, variatsiya ko’rsatkichlarini yuqoridagi jadval natijalaridan foydalanib kuyidagi tartibda aniqlaymiz.
Variatsiya kengligi:

O’rtacha chiziqli chetlanish:

Dispersiya:

O’rtacha kvadratik chetlanish:

Variatsiya koeffitsiyenti:

Dispersiyani matematik xossalaridan foydalanib, uni “shartli moment” usulida ham hisoblash mumkin:

2-misol. Harbiy xizmatga chaqiriluvchilarning bo’ylari quyidagi ma’lumotlar bilan ifodalanadi:

Harbiy xizmatga chaqiriluvchilarning bo’yi bo’yicha guruhlari, sm	Harbiy xizmatga chaqiriluvchilar soni, kishi
143-146 146-149 149-152 152-155 155-158 158-161 161-164 164-167 167-170 170-173 173-176 176-179 179-182 182-185 185-188	1 2 8 26 65 120 181 201 170 120 64 28 10 3 1
	1000

Dispersiyani “shartli moment” usulida hisoblang.

Yechish.
Dispersiyani hisoblashni soddalashtirish uchun quyidagi jadvalni tuzamiz.
Dispersiyani “shartli moment” usulida hisoblash tartibi

Harbiy xizmatga chaqiriluv-chilarning bo’yi bo’yicha guruhlari, sm.	Harbiy xizmatga chaqiri-luvchi-larning soni, kishi	Interval o’rtasi x	A=165,5	=3
143-146 146-149 149-152 152-155 155-158 158-161 161-164 164-167 167-170 170-173 173-176 176-179 179-182 182-185 185-188	1 2 8 26 65 120 181 201 170 120 64 28 10 3 1	144,5 147,5 150,5 153,5 156,5 159,5 162,5 165,5 168,5 171,5 174,5 177,5 180,5 183,5 186,5	- 21 - 18 - 15 -12 -9 - 6 - 3 0 3 6 9 12 15 18 21	-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7	-7 -12 - 40 -104 -195 -240 -181 0 170 240 192 112 50 18 7	49 72 200 416 585 480 181 0 170 480 576 448 250 108 49
Jami	1000	-	-	-	10	4064

Harbiy xizmatga chaqiriluvchilarning o’rtacha bo’yi “shartli moment” usuli orqali quyidagicha aniqlanadi:

Demak, dispersiya quyidagiga teng:


yoki

Muqobil belgilar dispersiyasini hisoblashda ma’lum xususiyatga ega bo’lgan belgilar salmog’i bo’lsa, miqdori 1, shu xususiyati mavjud bo’lmagan belgilar salmog’i ga teng, miqdori esa 0 ga teng, deb olinadi. Muqobil belgi o’rtacha salmog’i quyidagi ifodaga teng:
.

Muqobil belgi dispersiyasi quyidagi formula orqali aniqlanadi:

5-misol. Tuman soliq inspeksiyasi xodimlari tomonidan 200 ta tijorat do’konlarining moliyaviy holati tekshirilganda 50 tasida qonun buzilganligi aniqlandi. Muqobil belgi dispersiyasini aniqlang.


Yechish.
Maxsus belgining salmog’i:

bu xususiyatga ega bo’lmagan belgining salmog’i esa


ga teng.

Bundan muqobil belgi dispersiyasi:

yoki 18,75% ga teng.
Dispersiya umumiy, guruhlar ichidagi va guruhlararo turlarga bo’linadi.
Kuzatilayotgan to’plam birliklarida barcha omillar ta’sirida hosil bo’lgan variatsiya umumiy dispersiya orqali o’rganiladi va u quyidagi formula bilan hisoblanadi:

Guruhlararo dispersiya orqali o’zgaruvchi belgi miqdorlarining omil (guruhlashga asos bo’lgan) belgi ta’sirida yuzaga kelgan variatsiya o’rganiladi va u quyidagi formula orqali aniqlanadi:

Qolgan omillar ta’sirida yuzaga keladigan variatsiya guruhlar ichidagi dispertsiya deyiladi va kuyidagi formula orqali hisoblanadi:

4-misol. Ishchilarning tarif razryadlari va mehnat unumdorligi quyidagi ma’lumotlar bilan ifodalanadi.

Tarif razryadlari	Ishchilar soni, kishi	Mehnat unumdorligi, dona
3 4 5	5 4 3	100,120, 95,110,125 120,120,140,160 160,170,180

Aniqlang:
1) guruhlar ichidagi dispersiyalarni;
2) guruhlar ichidagi dispersiyalarning o’rtachasini;
3) guruhlararo dispersiyani;
4) umumiy dispersiyani.
Yechish.
Har bir guruhdagi o’rtachani oddiy o’rtacha arifmetik formula yordamida aniqlaymiz.




Guruhlar ichidagi dispersiyalarni hisoblaymiz.

Guruhlar ichidagi dispersiyalarning o’rtachasi teng:

Guruhlararo dispersiyani topish uchun umumiy o’rtachani aniqlaymiz.

Guruhlararo dispersiya quyidagiga teng:

Dispersiyalarni qo’shish qoidasidan foydalanib, umumiy dispersiyani hisoblaymiz

Dispersiyalarni qo’shish qoidasi o’rganilayotgan belgilarning bog’liqlik darajasini baholash uchun qo’llaniladi. Ma’lumki, omil belgi ta’siri natijaviy belgining o’zgarishiga olib keladi. Omil belgining ta’sirini aniqlash uchun determinatsiya koeffitsiyenti va empirik korrelyatsion nisbatdan foydalaniladi.

Determinatsiya koeffisiyenti:

Determinatsiya koeffisiyenti guruhlararo variatsiyaning umumiy variatsiyadagi salmog’ini ifodalaydi.
Empirik korrelyatsion nisbat:

Empirik korrelyatsion nisbat omil belgi va natijaviy belgi orasidagi bog’liqlik zichligini ifodalaydi.

Bizni misolimizda empirik korrelyatsion nisbat teng:

Demak, mexnat unumdorligi variyatsiyasining 77,6 foizi tarif razryadining variyatsiyasi natijasida yuzaga chiqadi.

Dispersiyalarni qo’shish qoidasi muqobil belgilar o’rtasidagi bog’liqlikni o’rganishda ham qo’llaniladi:
guruhlar ichidagi dispersiya,

guruhlar ichidagi dispersiyaning o’rtachasi,

guruhlararo dispersiya,

Umumiy dispersiya,

5-misol. Talabalar soni va a’lochilar salmog’i to’g’risida quyidagi ma’lumotlar berilgan:

Institutlar	Bitiruvchi talabalar soni, kishi	A’lochi talabalar salmog’i, (%)
1 2 3 4	1500 3250 2140 1150	13 35 25 12
Jami	8040

Yuqoridagi ma’lumotlar asosida, a’lochi talabalar salmog’ining guruhlararo, guruhlar ichidagi va umumiy dispersiyalarini aniqlang.

Yechish.

1. 
   Institutlar bo’yicha a’lochilar salmog’ini aniqlaymiz.
   

2. 
   Umumiy dispersiya esa quyidagicha aniqlanadi:
   

3. Guruhlar ichidagi dispersiyalar:

4. 
   Guruhlar ichidagi dispersiyalarni o’rtachasini aniqlaymiz:
   

5. Guruhlararo dispersiya quyidagiga teng:

Natijani tekshirib ko’ramiz,

Variatsiyani batafsil o’rganish uchun assimmetriya va ekssess ko’rsatkichlari ham qo’llanadi:
Assimmetriya koeffisiyenti:
,
bu yerda, uchinchi tartibli markaziy moment.

Ekssess koeffisiyenti:
,
bu yerda, to’rtinchi tartibli markaziy moment.



6-misol. Quyidagi ma’lumotlarga asoslanib assimmetriya va ekssess ko’rsatkichlarini aniqlang.

Tovar aylanmasi bo’yicha do’konlar guruhi, mln so’m	50-60	60-70	70-80	80-90	Jami
Do’konlar soni	7	15	6	4	32

Yechish:
Assimmetriya va ekssess ko’rsatkichlarini aniqlash uchun quyidagi jadvalni tuzamiz;

Tovar aylanmasi bo’yicha do’konlar guruhi, mln so’m	Do’konlar soni	Interval o’rtasi
A	1	2	3	4	5	6	7
50-60 60-70 70-80 80-90	7 15 6 4	55 65 75 85	385 975 450 340	-12,2 -2,2 7,8 17,8	1041,88 72,6 365,04 1267,36	12710,95 159,75 2847,3 22559	155073,45 351,38 22209,03 401550,32
	32	-	2150	-	2746,88	38277	579184,18

1. Tovar aylanmasining o’rtacha qiymati:

2.Dispersiya:

3.O’rtacha kvadratik chetlanish:

4.Uchinchi tartibli markaziy moment:

5.Assimmetriya koeffisiyenti:

Demak, taqsimot o’ng tomonlama assimmetriyaga ega bo’ladi.

6.To’rtinchi tartibli markaziy momentni quyidagi formula orqali aniqlaymiz:

7. Taqsimotning ekssess ko’rsatkichi teng:

Shunday qilib, shuning uchun taqsimot cho’qqisi pastdir.