Практикум по статистике. (2 издание). Тащкент изд. «Iqtisod-moliya»

Garmonik o’rtacha. Statistikada arifmetik o’rtacha bilan bir qatorda garmonik o’rtacha ham keng qo’llaniladi. Garmonik o’rtacha arifmetik o’rtachaga teskari miqdor bo’lib, u quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
oddiy ko’rinishda;
tortilgan ko’rinishda.


4-misol. Smena (8 soat) davomida bir xildagi bitta detalga ishlov berish uchun 1-tokar 10 minut, 2-tokar 15 minut, 3-tokar 20 minut ish vaqti sarf qildi. Bitta detalga ishlov berish uchun o’rtacha sarf qilingan vaqtni oddiy garmonik o’rtacha formulasi yordamida hisoblaymiz.
Yechish.

Berilgan yoki keltirilgan variatsion qatorlarda, chastotalar har bir variant bo’yicha noma’lum bo’lsa, o’rtacha miqdorni hisoblashda tortilgan garmonik o’rtacha formulasidan foydalaniladi.
Misol uchun, o’rtacha baho quyidagi nisbat bilan ifodalanadi:

5-misol. Dehqon bozorlarida “A” mahsulotning bahosi va sotilgan summasi bo’yicha quyidagilar ma’lum:

Bozorlar	Bir birlik mahsulotning bahosi (x), so’m	Sotilgan summasi (xf=M), so’m
I	2000	400000
II	3000	300000

Bir birlik mahsulotning o’rtacha bahosini aniqlash zarur.
Yechish.
Bu yerda oddiy arifmetik o’rtachani qo’llab bo’lmaydi, chunki chastotalar noma’lum. Yuqorida keltirilgan sxemaning sur’atida sotilgan summa berilgan, buning o’zi baho va miqdorning ko’paytmasidan tashkil topadi (xf). Sxemaning maxrajida sotilgan birliklar soni (chastotalar) berilgan, lekin u bizning misolda noma’lum. Uni quyidagicha hisoblash mumkin:

O’rtacha miqdor (baho)ni tortilgan garmonik o’rtacha formulasi bilan hisoblash mumkin:


Agarda oddiy arifmetikni qo’llab o’rtacha bahoni aniqlaganimizda, u 2500 so’mni tashkil qilar edi.
Statistikada geometrik o’rtacha va xronologik o’rtacha miqdorlar ham keng qo’llaniladi. Ularni hisoblash usullarini dinamika qatorlari mavzusida ko’rib chiqamiz.
Arifmetik o’rtachaning xossalaridan foydalangan holda, intervalli qatorlarda o’rtacha miqdorni soddalashtirilgan “shartli moment”usulida hisoblash mumkin. Buning uchun to’plam guruhlangan va guruhlarning intervallari teng bo’lishi zarur. Bunda quyidagi formuladan foydalanamiz:
,
bu yerda A va i – lar ixtiyoriy sonlar.
Hisoblash ishlarini osonlashtirish maqsadida A son sifatida eng ko’p uchraydigan variant qiymati, i soni etib esa interval uzunligi qabul qilinadi.
3-misol ma’lumotlari asosida o’rtacha miqdorni “shartli moment” usulida hisoblaymiz (A=200, i=40):
“Shartli moment” usulida o’rtachani hisoblash

Interval o’rtacha qiymati(x), mln so’m	Sotuvchilar soni (f), kishi	x-A=x-200		(
120 160 200 240 280	12 20 24 14 10	-80 -40 0 40 80	-2 -1 0 1 2	-24 -20 0 14 20
∑	80	-	-	-10

Jadval ma’lumotlariga ko’ra formulaga asoslanib o’rtacha miqdorni quyidagicha hisoblaymiz: