Практикум по статистике. (2 издание). Тащкент изд. «Iqtisod-moliya»

1-misol. 10 ta kichik korxonada ishlab chiqarilgan mahsulot va sarflangan yoqilg’i haqida quyidagi ma’lumotlar keltirilgan:

Ishlab chiqarilgan mahsulot, ming dona	5	6	8	8	10	10	14	20	20	24
Sarf qilingan yoqilg’i, tonna	4	4	6	5	7	8	8	10	12	16

Jadvalda keltirilgan ma’lumotlarga asosan ishlab chiqarilgan mahsulot va sarflangan yoqilg’i o’rtasida bog’lanishni to’g’ri chiziqli tenglama orqali tasvirlang. Olingan regressiya tenglamasini mohiyatini tushuntirib bering.

Yechish.
Normal tenglamalar sistemasining parametrlarini hisoblash va regressiya tenglamasini aniqlash va u bo’yicha hisob-kitoblarni bajarish uchun quyidagi jadvalni to’ldiramiz:


Regressiya tenglamasini tuzish va parametrlarini hisoblash

t/r	Ishlab chiqarilgan mahsulot, ming dona.(x)	Sarf qilingan yoqilg’i, tonna (u)	xy	x^2
1	5	4	20	25	ux=1,16+0,547·5=3,9
2	6	4	24	36	ux=1,16+0,547·6=4,4
3	8	6	48	64	ux=1,16+0,547·8=5,5
4	8	5	40	64	ux=1,16+0,547·8=5,5
5	10	7	70	100	ux=1,16+0,547·10=6,6
6	10	8	80	100	ux=1,16+0,547·10=6,6
7	14	8	112	196	ux=1,16+0,547·14=8,8
8	20	10	200	400	ux=1,16+0,547·20=12,1
9	20	12	240	400	ux=1,16+0,547·20=12,1
10	24	16	384	576	ux=1,16+0,547·24=14,3
∑	125	80	1218	1961	80

Ishlab chiqarilgan mahsulot va ishlab chiqarish uchun sarf qilingan yoqilg’i o’rtasidagi to’g’ri chiziqli bog’lanishning tenglamasiga to’g’ri kelgan normal tenglamalar sistemasi quyidagicha:

Ushbu normal tenglamalar sistemasidan kelib chiqadi. Demak, ishlab chiqarilgan mahsulot va ishlab chiqarish uchun sarf qilingan yoqilg’i o’rtasidagi bog’liqlik

regressiya tenglamasi orqali baholanadi.
Agar, omilli bog’lanish tenglamasida omil belgilari aralash ko’paytma yoki ikki va undan ortiq daraja bilan qatnashsa bunday bog’lanish egri chiziqli bog’lanish deyiladi.
Egri chiziqli bog’lanishlar turli ko’rinishda bo’lishi mumkin. Iqtisodiy tahlilda eng ko’p uchraydigan egri chiziqli tenglamalarga quyidagilarni kiritish mumkin:
Giperbola tenglamasi:

Bu regressiya tenglamasidagi a₀ va a₁ parametrlarining qiymatlarini hisoblash uchun quyidagi tenglamalar sistemasidan foydalaniladi:

Logarifimli tenglama:

Bu regressiya tenglamasining a₀ va a₁ parametrlarini hisoblash quyidagi normal tenglamalar sistemasi orqali hisoblanadi:

2-misol. Kichik korxonalarning yillik tovar aylanmasi va muomala xarajatlarining nisbiy darajasi to’g’risida quyidagi ma’lumotlar keltirilgan:

Yillik tovar aylanmasi, mlrd so’m	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
Muomala xarajatlarining nisbiy darajasi, %	25,0	23,0	22,0	22,5	22,2	22,0

Jadval ma’lumotlariga asosan tovar aylanmasi va muomala xarajatlari nisbiy darajasi o’rtasida teskari bog’lanish mavjud bo’lganligi sababli bog’lanish giperbola tenglamasi orqali aniqlanadi va unga mos normal tenglamalar sistemasining va koeffitsiyentlari qiymatini topish hamda hosil bo’lgan regressiya tenglamasida hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:

Regressiya tenglamasining hisob-kitobi

m/r	Yillik tovar aylanmasi, mlnso’m (x)	Muomala xarajatining nisbiy darajasi, % (y)
1	5,0	25,0	0,200	5,000	0,0400
2	6,0	23,0	0,167	3,841	0,0278
3	7,0	22,0	0,143	3,146	0,0204
4	8,0	22,5	0,125	2,813	0,0156
5	9,0	22,2	0,111	2,464	0,0123
6	10,0	22,0	0,100	2,200	0,0100
∑	-	136,7	0,846	1,9464	0,126	136,7

Jadval ma’lumotlari asosida normal tenglamalar sistemasini tuzamiz:

Tenglamalarni yechib a₀ = 18,8 va a₁ = 28 natijalarni olamiz. U holda, regressiya tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

Giperbola tenglamasidagi a₁- parametr tovar aylanmasining 1 mln so’mga o’zgarishi muomala xarajatlarining nisbiy darajasi qancha foiz o’zgarishiga olib kelishini ko’rsatadi. Buning uchun regressiya tenglamasidan birinchi tartibli hosila olinadi:





Tovar aylanmasining hajmi 5mln so’mdan 6mln so’mgacha ortganda, ya’ni 1mln so’mga ko’payganda, muomala xarajatlarining nisbiy darajasi 1,12 foizga kamayadi. Yuqori tovar aylanmasiga ega bo’lgan korxonalarda esa muomala xarajatlarining nisbiy darajasi 0,28 foizga pasayishiga olib keladi.


3-misol. Do’konlarning yillik tovar aylanmasi va tovar zaxiralari to’g’risida quyidagi ma’lumotlar berilgan:

Do’konlar	Tovar aylanmasi, mlnso’m	Tovar zaxirasi, mlnso’m
1	36	2,5
2	50	3,9
3	58	4,1
4	69	4,4
5	74	5,0
6	85	5,8
7	94	6,9
8	99	7,1
9	103	9,2
10	108	8,8
Jami	776	57,7

Jadval ma’lumotlariga asosan do’konlarning tovar aylanmasi va tovar zaxiralari o’rtasidagi bog’lanishni ikkinchi darajali parabola tenglamasida tasvirlang.
Yechish.
Ikkinchi darajali parabola tenglamasi:

Bu tenglamaning parametrlari ( ) quyidagi normal tenglamalar sistemasini yechish bilan aniqlanadi:

Normal tenglamalar sistemasining x², x³, x⁴, xu, x²u o’zgaruvchilarning qiymatlarini quyidagi jadval asosida aniqlaymiz:

Normal tenglamalar sistemasi o’zgaruvchilarining qiymatlarining hisob –kitobi

Do’konlar	Tovar aylanmasi, mln so’m	Tovar zaxirasi, mln so’m	x^2	x^3	x^4	xu	x^2 y
1	36	2.5	1296	46656	167916	90,0	3240,0
2	50	3.9	2500	125000	6250000	195,0	9750,0
3	58	4.1	3364	195112	11316496	237,8	13792,4
4	69	4.4	4761	328509	2266714	303,6	20948,4
5	74	5.0	5476	405224	29986576	370,0	27380,0
6	85	5.8	7225	614125	52200625	493,0	41905,0
7	94	6.9	8836	830584	78074896	648,6	60968,4
8	99	7.1	9801	970299	96059601	702,9	69587,1
9	103	9.2	10609	1092727	112550881	947,6	97602,8
10	108	8.8	11664	1259712	136048896	950,4	102643,2
Jami	776	57.7	65532	5867948	546834708	4938,9	447817,3

O’zgaruvchilarning qiymatlarini o’rniga qo’ysak quyidagi normal tenglamalar sistemasini olamiz:

Har bir tenglamaning hadlarini mos ravishda a₀ oldidagi koeffitsyentlarga bo’lamiz.

Ikkinchi tenglamadan birinchi, uchinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayirib, ikkita ikki noma’lumli tenglamaga ega bo’lamiz:

Har bir tenglamaning hadlarini mos ravishda a₁ oldidagi koeffitsyentlarga bo’lamiz:
.
Ikkinchi tenglamadan birinchi tenglamani ayiramiz:
bundan
a₀ va a₁ parametrlarni o’rin almashtirish usuli bilan aniqlaymiz:

Demak, ikkinchi darajali parobola tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Ijtimoiy-iqtisodiy hodisalar o’rtasidagi bog’liqlikni o’rganishning muhim masalalaridan biri omil va natijaviy belgining o’zaro bog’lanish kuchi (zichligi)ni aniqlashdan iborat. Zichlik korrelyatsiya koeffitsiyentlari orqali o’lchanadi.
Xususan, bog’lanishning shakli to’g’ri chiziqli bo’lganda korrelyatsion bog’lanishning zichligi chiziqli korrelyatsiya koeffitsyenti orqali aniqlanadi va u quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
;