Повышение надежности и долговечности машин и механизмов 1 федеральное государственное бюджетное

Рис. 1.
Векторная диаграмма результатов измерений
Таблица.
Результаты измерений вектора дисбаланса 
 
№ 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
V, мкм 
24 
26 
32 
40 
38 
8 
θ, град 
82 
84 
93 
115 
145 
112 
Целью данной работы является разработка методики анализа полученных 
результатов измерений для определения величины и угла вектора дисбаланса. 
Математически задачу можно формализовать следующим образом. Имеется N 
результатов измерения V и 
θ
, полученных при наличии случайной погрешности при 
измерениях.
На векторной диаграмме результаты измерений являются точками, 
расположенными приблизительно на окружности с центром в точке D и описываются 
уравнением 
, 
где 
D
X
и 
D
Y
– координаты точки D, 
n
n
n
sin
V
Y


, 
n
n
n
cos
V
X


– координаты результатов измерений,
R – радиус окружности,
n

– случайная погрешность измерения.
Требуется дать оценку значений 
D
X
и 
D
Y
. 
При решении задачи путем использования классического регрессионного 
анализа возникают проблемы. Даже при использовании простейшего критерия 
наименьших квадратов задача сводится к поиску минимума функционала 

---

Актуальные проблемы расчета и конструирования машин и механизмов. Моделирование,
управление, автоматизация проектирования механических систем 
________________________________________________________________________________ 
277 
∑
и решению системы уравнений 
.
Данная система сводится к системе из двух кубических уравнений с двумя 
неизвестными, имеющая несколько различных вещественных вариантов решения, и 
дальнейший выбор правильного ответа может вызвать затруднения.
Кроме того, полученные оценки будут несмещенными только в том случае, 
если результаты измерений расположены по окружности строго равномерно, что при 
небольшом количестве измерений практически невозможно. 
В связи с этим предлагается альтернативный алгоритм обработки данных, 
основанный на использовании взвешенного усреднения. 
Исходный массив данных из N результатов измерения может быть 
преобразован в матрицы 
k
,
j
X
и 
k
,
j
Y
размером 3*K, где K – количество возможных 
сочетаний по 3 элемента 
)!
3
N
(
!
3
!
N
K


, 
тогда возникает K систем из трех уравнений вида 
, 
где j=0,1,2. 
Каждая система дает единственное решение, которое является уникальным 
вследствие наличия помехи измерения. В результате получаются массивы решений 
k
X
и 
k
Y
, и далее оценки значений 
D
X
и 
D
Y
могут быть получены путем 
взвешенного усреднения.
Необходимость взвешивания обусловлена тем, что влияние погрешности 
измерения существенно зависит от геометрического расположения точек, 
образующих столбцы матриц, на окружности.
Очевидно, что влияние погрешности минимально при расположении точек в 
виде равнобедренного треугольника, и максимально, если точки сгруппированы в 
узком секторе. В связи с этим, возможным вариантом выбора весового коэффициента 
является произведение квадратов геометрических расстояний между точками: 
)
)
X
X
(
)
Y
Y
(
*
*
)
)
X
X
(
)
Y
Y
((
*
)
)
X
X
(
)
Y
Y
((
W
2
k
,
0
k
,
2
2
k
,
0
k
,
2
2
k
,
2
k
,
1
2
k
,
2
k
,
1
2
k
,
1
k
,
0
2
k
,
1
k
,
0
k










Тогда искомые оценки значений 
D
X
, 
D
Y
вычисляются как 



k
k
k
k
k
D
W
W
X
X
; 



k
k
k
k
k
D
W
W
Y
Y
.

---

НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ 
________________________________________________________________________________ 
278 
Данный алгоритм был опробован для исходных данных из табл. 1. Результаты 
расчетов представлены на рис. 2. 
Рис. 2.
Векторная диаграмма результатов расчетов 
Как видно из диаграммы (рис. 2), даже при ограниченной выборке исходных 
данных, сосредоточенных в секторе порядка половины окружности, в результате 
усреднения положение центра окружности определяется достаточно точно, и 
проведение дальнейшей балансировки становится методически возможным. 
Таким образом, данная методика может использоваться на практике на 
заключительных этапах балансировки АЭД в собственных опорах. 
УДК 621.3.019.3 + 681.518