Pitkeriw qánigelik jumíSÍ Tema

3-teorema. Egerde funkciyası tómende berilgen úsh shártin qanaatlandırsa, yaǵnıy
1) funkciyası noqatınıń bazı bir tuyıq dógereginde óziniń dara tuwındıları menen birge anıqlanǵan hám úzliksiz;
2)
3) bolsa , onda (3.1) teńlemesi noqatınıń bazı-bir dógereginde anıqlanǵan hám mártebe úzliksiz differenciallanatuǵın (3.3) baslanǵısh shártlerin qanaatlandıratuǵın hám bolatuǵın jalǵız bir sheshimine iye boladı.
Bul teoremanıń dálilleniwi kóp argumentli anıq emes funkciyalardıń bar bolıwı haqqındaǵı teoreması menen Pikar teoremasınan kelip shıǵadı.
Meyli oblastınıń hár bir noqatında (3.2) differenciallıq teńlemesi ushın Koshi máselesi jalǵız bir sheshimge iye bolatuǵın oblastı bolsın.
Anıqlama: qálegen turaqlılar bar bolǵanda
(3.10)
funkciyası (3.2) teńlemeniń oblastındaǵı ulıwma sheshimi dep ataladı, egerde:
1) funkciyası boyınsha mártebe úzliksiz differenciallanıwshı bolsa;
2) Qálegen noqatı ushın
(3.11)
sisteması lerge qarata bir mánisli sheshiletuǵın bolsa, yaǵnıy
(3.12)
bolsa;
3) (3.12) qatnasları menen anıqlanǵan qálegen turaqlılardıń qálegen mánislerinde noqatı oblastına tiyisli bolǵanda, funkciyası (3.2) teńlemeniń sheshimi bolsa.
Eger (3.2) differenciallıq teńlemeniń (3.10) ulıwma sheshimi oblasta
(3.13)
qatnası menen anıq emes túrinde berilgen bolsa , onda bul (3.13) qatnası (3.12) teńlemesiniń - oblastındaǵı ulıwma integralı dep ataladı.
(3.10) ulıwma sheshiminen qálegen turaqlılardıń belgili bir mánislerinde alınatuǵın sheshim (3.2) teńlemeniń dara sheshimi delinedi. Al (3.13) qatnasınan - lerdiń anıq mánislerinde alınǵan hár qanday
(3.14)
qatnası (3.2) teńlemeniń dara integralı dep ataladı.
Eger (3.10) ulıwma sheshimi yamasa (3.13) ulıwma integralı belgili bolsa, onda Koshi máselesin tómendegishe sheshiwge boladı: (3.10) yamasa (3.13) qatnaslarınan hám olardan boyınsha mártebe differenciallaw ámeli arqalı alınatuǵın qatnaslardan (3.13) baslanǵısh shártlerin paydalanıp lerdi anıqlaw ushın sistemaǵa iye bolamız. Bul sistemanı sheship hám tabılǵan anıq mánislerin (3.10) yamasa (3.13) aparıp qoyıp Koshi máselesiniń sheshimin
(3.15)
túrinde yamasa - dara integralı túrinde alamız.
Geometriyalıq jaqtan ulıwma sheshimi yamasa ulıwma integral tegislikte túrindegi, parametrlerinen ǵárezli bolǵan integrallıq iymek sızıqlar toparın ańlatadı.
Eger parametrin iymek sızıqlar toparınıń teńlemesi , mısalı (3.10) túrinde berilgen bolsa, onda onı mártebe boyınsha differeciallap hám (3.10) menen alınǵan teńlemesinen turaqlıların shıǵarıp taslap, berilgen iymek sızıqlar toparınıń differeciallıq teńlemesine iye bolamız.
tártipli (3.1) differenciallıq teńlemeni integrallaw barısında alınatuǵın
(3.16)
túrindegi qatnas usı (3.1) teńlemeniń tártipli aralıq integralı dep ataladı. Bul túrindegi erikli turaqlılardı óz ishine alǵan tártipli differenciallıq teńlemesi bolıp tabıladı. Al bul (3.16) teńlemeni integrallaw arqalı jáne erikli turaqlılardı alamız hám solay etip, berilgen (3.1) teńlemeniń erikli turaqlılardı óz ishine alatuǵın integralına iye bolamız.
Eger aralıq integral
(3.17)
túrine iye bolsa, yaǵnıy belgisiz funkciyanı tártipli tuwındısı hám bir qálegen turaqlını óz ishine alsa , onda ol (3.1) teńlemeniń birinshi integralı dep ataladı.
Eger (3.17) túrine iye birinshi integralı belgili bolsa, (3.1) teńlemeni integrallaw máselesi tártipli teńlemeni integrallawǵa alıp kelinedi, al ǵárezsiz birinshi integral belgili bolsa , onda (3.1) teńlemeniń tártibin birligine tómenletiwge boladı.
Eger (3.1) teńlemeniń hár qıylı ǵárezsiz birinshi integralları belgili bolsa , onda olardın tuwındılarınıń barlıǵın shıǵarıp taslap, usı teńlemeniń ulıwma integralına iye bolamız.
Hár bir noqatında Koshi máselesiniń jalǵız bir sheshimge iye bolatuǵın shárti orınlanbaytuǵın sheshim ayrıqsha sheshim dep ataladı. (3.1) teńleme sandaǵı qálegen turaqlılardan ǵárezli bolǵan ayrıqsha sheshimler toparına iye bolıwı múmkin.
3-teoremaǵa muwapıq, eger (3.1) teńlemeniń shep jaǵı bolǵan funkciyası óziniń barlıq argumentleri boyınsha anıqlanǵan hám úzliksiz differenciallanatuǵın bolsa, onda ayrıqsha sheshimler noqatlarında tek

qatnasları orınlanatuǵın iymek sızıqlar bolıwı múmkin[9].