Pitkeriw qánigelik jumíSÍ Tema

4-§. Ekinshi tártipli ádettegi sızıqlı differenciallıq teńlemeleri ushın qoyılǵan shegaralıq máseleni superpoziciya usılı menen sheshiw

Ekinshi tártipli ádettegi differenciallıq teńlemesi ushın qoyılǵan shegaralıq másesin sheshiw usılın qaraymız. Bunda ekinshi tórtipli differenciallıq teńlemesi ushın qoyılǵan eki noqatlı shegaralıq máselesi menen sheklenemiz. Bunda tómende berilgen differenciallıq teńlemeniń

aralıqtıń ushlarında tómendegi shártlerin qanaatlandıratuǵın

sheshimin tabıwdan ibarat boladı, bunda -berilgen sanlar. Sonıń menen birge .
Qoyılǵan shegaralıq máselesi jalǵız bir sheshimine iye boladı dep uyǵaramız hám bul máseleni sheshiwdiń juwıq usıllın qaraymız.
4.1.Koshi máselesin eki mártebe sheshiw usılı. Tómende berilgen 2-shi tártipli sızıqlı differenciallıq teńlemesi ushın
(4.1)
shegaralıq shártleri
(4.2)
(4.3)
(4.1) teńlemeniń ulıwma sheshimin
(4.4)
kórinisinde jazıwǵa boladı, bul jerde - (4.1) teńlemeniń bazı bir dara sheshimi, al hám sheshimleri tómendegi
(4.5)
teńlemesiniń sızıqlı ǵárezsiz sheshimleri boladı. Egerde bul úsh , , funkciyaları tabılǵan bolsa, onda (4.2) hám (4.3) shegaralıq shártlerinen hám turaqlıların tabıw múmkin bolıp hám (4.4) boyınsha shegaralıq máseleniń sheshimine iye bolıwǵa boladı. Biraq bul bizge qolaylı bolmaydı, sebebi olardıń sheshimlerin tabıw ushın, bul jerde úsh mártebe Koshi máselesin sheshiwge tuwra keledi.
Koshi máselesin tek ǵana eki mártebe sheshiw jetkilikli bolatuǵın usılın qaraymız.
(4.1) teńlemeniń dara sheshimin da (4.2) shártlerin qanaatlandıratuǵınday etip tabamız. Ol ushın
(4.6)
boladı dep esaplaymız, bunda -bazı bir ıqtıyarlı san. Bunnan soń (4.5) teńlemeniń sheshimin да tómendegi
(4.7)
shártin qanaatlandıratuǵınday qılıp tabamız, bul jerde - nolden ózgeshe bolǵan qálegen bir san. Onda qálegen da tómendegi funkciyası
(4.8)
(4.2) shártlerin qanaatlandıratuǵın (4.1) teńlemeniń sheshimi boladı.
(4.3) shártlerin qanaatlandırıw ushın, berilgen aralıqtıń oń qaptal ushında sáykes túrde koefficientin tańlap alamız. (4.3) shártinen tómendegige iye bolamız:

bunnan
(4.9)
(4.9) teńliginen anıqlanatuǵın koefficientine iye bolǵan (4.8) funkciyası (4.1) – (4.3) shegaralıq máseleniń sheshimi boladı. (4.1), (4.6) hám (4.5), (4.7) Koshi máselelerin sheshiw ushın sanlı usıllarınan paydalansaq boladı.
Óziniń ápiwayılıǵı menen bul usıl teoriyalıq jaqtan júdá jaqsı hám kópshilik jaǵdaylarda dálligi boyınsha jaqsı nátiyjelerin beredi, biraq sonıń menen birge úlken kólemdegi esaplaw qáteliklerine de alıp keledi.
Endi bolǵan jaǵdayın qaraymız hám (4.5) teńlemeniń sheshimleriniń háreketin izertleymiz. tı differenciallap, tómendegige iye bolamız:

Bunnan
(4.10)
( )
Egerde (4.2) hám (4.7) shegaralıq shártlerinde bolsa, onda boladı. tıń ósiwi menen diń absolyut shaması ósip baradı hám egerde aralıǵında funkciyasınıń tómengi shegarası úlken bolǵan sayın bul shama ele de ósetuǵınlıǵı ( ) formuladan kórinip turıptı. Tez ósiwshi sheshimlerin sanlı usılları menen aralıqtı ushında izlegenimizde biz úlken muǵdardaǵı qáteliklerine iye bolıp hám (4.9) daǵı turaqlısı turpayı bolıp esaplanadı. Bul bolsa shegaralıq máseleniń sheshiminde úlken muǵdardaǵı qáteliklerine alıp keledi[1,2,5].