Designing Sound

5.4 Acoustic Oscillations
73
any integer harmonic. The case for a pipe which is open at both ends is similar,
but with nodes replaced by antinodes. Again the fundamental is given by
c/
2
l
and the harmonics are in an integer series. The case for a semi-open pipe is
different. Here we must have a node at the closed end and an antinode at the
open end. The smallest standing wave configuration that will fit is therefore a
quarter wavelength, and so:
f
=
c
λ
=
c
4
l
(5.15)
Furthermore, the only standing wave configurations that fit will be at
f
, 3
f
,
5
f
, 7
f
, . . . being the odd harmonic series.
Radiation from Pipes and Horns
In practice the frequency of a pipe isn’t exactly as predicted by theory. Radi-
ation from the end of the pipe appears as an impedance in a network model
of the oscillator, and thus it changes the resonant frequency of the system. To
get the accurate frequency for a pipe or horn we need to apply
end correction
.
For a straight pipe we add 0
.
62
R
to get the effective length of a pipe with radius
R
. A tapered horn changes the acoustical impedance gradually, so providing
a more efficient transfer of energy to the air. For a tapered horn, such as in a
trumpet, we need to add 0
.
82
R
as an end correction.
Helmholtz Oscillator
A
Helmholtz oscillator
is a useful construction to understand. It occurs when
an acoustic capacitance and inductance exist in series, such as for a bottle or a
surfacing water bubble (seen later). A small aperture is connected to a volume
such that the gas within it acts as a free mass, while the larger volume acts
like a spring. A simplified illustration is shown in figure 5.11. If the gas in the
neck is excited, say by one’s blowing across the bottle mouth, then the gas will
move up and down. By the Bernoulli principle there will be a reduction of air
pressure over the opening and the gas in the neck will rise up. As it moves