22 Mavzu: Elektropotensial gradienti, Pausson, Laplas tenglamalari. Reja

ع
⃗⃗
0
⃗⃗
0=1 ,
=1 nuqtaviy zaryad maydonidagi maydon kuchlanganligi moduli 
E=
ع
SHunday qilib potensiallar farqi
φ1- φ2= 
∫
∫
=
ع
∫
= 
ع
(1/
1-1/
2) 
boshlangich va oxirgi nuqtada nuqtalarni joylashgan xolatiga bog‘liq ,zaryadlarni 
ko‘chirish yo‘liga bog‘liq emas ya’ni zaryad 132 yo‘l bilan ko‘chirilsa xam, 142 
yo‘l bilan ko‘chirilsa xam potensiallar farqi teng. 
Agar Yopiq kontur bo‘yicha 13241 birlik musbat zaryadni ko‘chirsak

---

φ1- φ2=0=
∮
Yopiq kontur bo‘yicha maydon kuchlari tamonidan qanday ish bajarilsa tashqi 
maydon kuchlari tamonidan shunday ish bajariladi. 
Kuch va ekvipotensial chiziqlar 
Elektrostatik maydonni kuch va ekvipotensial chiziqlar to‘plami bilan xarakterlash 
mumkin.Kuch chiziqlar musbat zaryadlardan boshlanib manfiy zaryadlarda 
tugaydi. Maydonni xosil qilayotgan musbat va manfiy zaryadlar bitta nuqtada 
joylashishi mumkin emas, shuninguchun kuch chiziqlar o‘z-aro Yopiq sirt xosil 
qilmaydi. 
Ekvipotensial chiziqlar bu maydon atrofidagi bir xil potensialga ega bo‘lgan 
chiziqlar., ekvipotensial sirt bo‘yicha zaryadlarni qo‘chishida potensial o‘zgarishi 
kuzatilmaydi.
Kuchlanganlikni potensialni gradienti ko‘rinishdagi ifodasi. 
Elektrostatik maydon potensial maydon deb yuritsak , ikkita yaqin joylashgan 
nuqta orasida potensiallar farqi mavjud. Agar bu potensiallar farqini ikki nuqta 
orasidagi qisqa masofaga bo‘lsak xosil bo‘lgan kattalik potensialni o‘zgarish 
tezligini xarakterlaydi. 
Skalyar funksiyani gradienti deb skalyar funksiyani o‘sish yo‘nalishi bo‘yicha 
o‘zgarish tezligiga aytiladi. 
Gradientni aniqlash uchun ikkita xolat mavjud: 
1)
Ikki nuqta orasidagi potensialni o‘zgarish tezligi maksimal bo‘lishi. 
2)
Yo‘nalish shunday bo‘lishi kerakki skalyar funksiya mazkur yo‘nalishda 
ortishi(o‘sishi) kerak. 

---

Yuqoridagi chizmada bir-biriga juda yaqin bo‘lgan ikkita ekvipotensial sirt 
ko‘rsatilgan, birinchi sirt φ1, ikkinchi sirt φ2 potensialga ega, 
φ
1
>
φ
2
Maydon kuchlanganligi potensial Yuqori bo‘lgan nuqtadan potensiali kam 
bo‘lgan nuqta tamonga ya’ni 1nuqtadan 2 nuqtaga yo‘nalgan . 
Ikki nuqta orasidagi masofani dn orqali ifodalasak 
φ1- φ2= 
∫
Edn = - dφ 
SHunday qilib dφ= φ1- φ2 potensialni 1nuqtadan 2nuqtaga o‘tgandagi o‘zgarishi
Edn = - dφ maydon kuchlanganligi moduli E = - dφ/dn
Gradientni aniqlasak
grad φ = - dφ/dn 
Yuqoridagilardan kelib chiqib E=- grad φ yozish mumkin. 
Biror nuqtada maydon kuchlanganligi mana shu nuqtada potensialni teskari ishora 
bilan o‘zgarishiga teng. Manfiy ishora maydon kuchlanganligi yo‘nalishi va grad φ
yo‘nalishi karama-qarshi ekanidan dololat. 
grad φ ni koordinata o‘qlaridagi proeksiyalari orqali ifodalasak; 
grad φ = i
+j
i
x-o‘qi bo‘yicha potensialni o‘zgarishi. 
Differensial operator Gamilton(operator nabla) 
Uchta koordinata o‘qlari bo‘yicha olingan xususiy xosilani mos keluvchi 
ortirmasiga ko‘paytmasi tushiniladi. 
= i
+j

---

Operator nabla
ni potensial 
tatbiq kilsak quyidagi xosil bo‘ladi: 
= (i
+j
)
= I
+j
Agar Yuqoridagi gradient grad φ va operator nablani 
o‘ng tamonini tengligini 
e’tiborga olsak grad φ =
operator nabla skalyar funksiyadan gradient olishni 
anglatadi.