И здан и е второе, стереотипное

§ 6, Естественны е краевые условия
1. 
Ч т о б ы вы яснить понятие естеств ен н ы х к р ае в ы х у с л о ­
вий и п р о и с х о ж д е н и е э т о г о понятия, рассм отрим следую щ ую
за д а ч у в а р и ац и о н н о го исчисления.
. Н ай ти м инимум ф ун кц и он ала
ь
F(tt) =
J Ф(х, и, 
u')dx
(1)
а
на м н о ж е с т в е ф ункций 
и
С (1) 
\а, Ь\,
никаким краевы м у с л о ­
виям ф у н к ц и и и(дг) з а р а н е е не подчиняю тся. Н а функцию
Ф(х, и, и')
н алож им те ж е условия, что и в п ростейш ей 
за д а ч е в а р и а ц и о н н о г о исчисления.
В а ж н о е о тл и ч и е новой задачи ва ри ац и он н ого исчисления 
о т п р о с т е й ш е й со с то и т в отсутствии краевы х услови й д л я 
ф ун к ц и й , на к о т о р ы х ищ ется минимум.
В наш ем с л у ч а е
D ( F ) —
С (1) [а, 
Ь).
Э то м н о ж ество ли н ей ­
ное, и е г о м о ж н о рассм атри вать к а к линейное м н о го о б р ази е 
(м о ж н о п о л о ж и т ь
й =
0). Будем р ассм атри вать е г о как часть 
п р о с т р а н с т в а £ 2 (а , 
Ь).
Л е гк о п ровери ть, что ф у н к ц и о н ал (1 )
у д о в л е т в о р я е т у сл о в и ям 1 — 3 § § t , 3 гл. 2 .

---

Н айдем градиент ф ун к ц и о н ал а (1). Д о к а ж е м следую щ ую
те о р е м у .
Т е о р е м а 4.6.1. 
Д ля того, чтобы функция и ( х ) при­
надлежала области определения градиента функционала
( 1), 
необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла
следующим условиям:
I) и ^ С ( , ) [а, 
Ь\,
2 )