И здан и е второе, стереотипное

удовлетворяю щ ей условиям
( 4 ) . 
В этом случае область 
D(F)
пуста 
и
задача о минимуме
функционала (2) теряет смысл.
Если функция 
а
сущ ествует, то м нож ество 
D(F)
содерж ит
линейное 
м ногообразие функций вида 
и
 (дг) = м (дг) 
ц (х),
где функции г, непрерывно дифференцируемы в 2 и вместе
с первыми производными равны нулю на е е границе.
М ногообразие 
D( F)
будем рассматривать как часть про­
странства 
И з следствия 
1.3.1 
ср азу вытекает, что
м ножество 9)J(1)( 2 ) плотно в 
L2(
2 ). А тогда нетрудно дока­
зать, что функционал (2 ) удовлетворяет условиям 
1
—
3 
из
§§ 2, 3 гл. 3.
Поставим задачу минимизации функционала (2 ) и выведем
необходим ое условие. Нам известно о б щ ее н еобходим ое у сл о ­
вие (§ 
4 
гл. 3): если элемент 
и0
сообщ ает минимальное зна­
чение функционалу 
F,
то i/0 ^ D ( g r a d
F)
и (grad F)(m0) = 0.
Составим вариацию
8
F ( h ,
■
n) = ~ F ( u ~ l r
а и ))|в = 0 =
— ~di \ Ф ( Х>
Н + а71> 
+
•••> " т + ат1 т ) ^ | « - 0 = =
£
т
'
 
8 = 5 [ ж 1,+ 2
(5)
2 
* = 1
Здесь приняты обозначения
д и
д ц
1,к 
дхь ’ 
д х ь '
под знаками производных от Ф опущены аргументы jc, 
и(х),
“ i W ..........
ик (х).
Функция 
u ( ^ D { F )
принадлежит области D (g r a d
F)
тогда
и только тогда, когда интеграл в правой части равенства
(5) есть ограниченный в Л9( 2 ) функционал. Указанный интег­
рал распадается на (/га- f - l ) интегралов:
т
8/7(И* Ч)= J
Та 
2
S 
W k ^ d x =
“ ( £ - . ’0 + 2 ( £ - 4

---

. 
дФ 
дФ 
г> 
й
Функции 
непрерывны в Ц; тем более, они при­
надлежат 
Li
 (&), поэтому первое скалярное произведение огра­
ничено в £ 9 ( 2 ); об остальных произведениях этого в общ ем
случае сказать нельзя.
П усть функция 
i t ^ D ( F )
такова, что сущ ествую т о б о б ­
щенные производны е
д 
дФ 
, 
. 
п
~дГк ~д^> 
к ~
2 ’ 
т'
(6 )
Тогда, по ф орм уле ( 1. 1) гл. 2
С дФ 
, 
f дц , 
Р 
д дФ .
} Ж к
 
^ d x — \ д и к W k d x —
\
д и к Л х '
е
& 
S
и, следовательно,
т
дФ 
V
д 
дФ
V ,< = S M " ’ ( 0 >
( 7 )
a L 
fc = i
Допустим ещ е, что
да
т
д 
дФ
Тогда
. с , 
ч 
/ дФ 
v
д 

\
- ш ~ 1 д г к ^ г к '
11)
есть функционал от ifj, ограниченный в £ а(2 ); если так, то
к £ D (g r a d
F)
и
т
(grad 
=
и |г = * ( * ) -
(9 )
Таким обр азом , область определения градиента 
F
во вся­
ком случае содер ж и т функции, обладающ ие следующими свой­
ствами: 1) эти функции принадлежат к С (1)( 2 ) и удовлетво­
ряют условию (3); 2 ) сущ ествую т обобщ енны е производные
(6); 3 ) выполняется условие (8). В частности, множество
D ( g r a d F ) содер ж и т те функции из С 13)(2 ), которые у д о в ­
летворяют условию (3).

---

Теперь легко написать уравнение Эйлера нашей вариа­
ционной задачи, если допустить, что функция, реализующая
минимум функционала (2), обладает только что описанными
свойствами. Уравнение Эйлера состоит из дифференциального
уравнения
т
s - l & r n - *
<'°>
fc = 1
и граничного условия (3).
П р и м е р 1. Пусть 
т
Дифференциальное уравнение Эйлера для (11) имеет вид
т
2
й - о
<12)
или, короче, Д и = 0 . Это уравнение надо интегрировать при гранич­
ном условии 
и
| г 
= g(x);
при этом предполагается, что сущ ествует 
функция 
й(х),
удовлетворяющая условиям (4). Интеграл (11) обычно 
называют 
интегралом Дирихле.
П р и м е р 2. Пусть
а
dx,
и | г = 0. 
(1 3 )
Дифференциальное уравнение Эйлера для функционала (13) легко 
приводится к виду
— Д 
u = f ( x ) ;
(14)
его нужно интегрировать при граничном условии м | г = 0. В этом 
случае существование функции 
й(х)
тривиально: можно положить
а (х) ~
0.
§ 4. Ф у н к ц и о н а л ы , з а в и с я щ и е о т п р о и з в о д н ы х
в ы с ш и х п о р я д к о в
Рассмотрим функционал вида
ь
F (h ) = J ® (jc , 
и,
гЛ u"..........
u ^ ) d x .
 
(
1
)
а
Примем для простоты, что функция Ф ( х , 
z w z it 
z k)

---

о п р ед ел ен а в о б ласти изменения переменных
х
^
[а, Ь\,
— о о О
У< о о ,
/ = 0, 1, 
2
, 
k,
 
( 2 )
и в это й области 
k
р а з непреры вн о диф ф еренцируем а. Ф унк­
ц и о н ал (1 ) зададим на ф ункциях и £
С(к)
[а, 
Ь],
у д о в л е т в о ­
р яю щ и х краевы м условиям
и (а) =
Л 0> 
u'(a) — Al, . . . , i i {k- 1)(a) = A k_i,
u(b) = Bv ' u'(b) = Bv
. . . , и1 М )(&) = Я*_|,
гд е
Ар B j
 
— задан н ы е постоянны е. В кач естве Я (лг) м ож но 
в зя ть полином степени 
2 k
— 1, удовлетворяю щ ий усл о в и ям (3); 
к а к известно, тако й полином построить м ож но. Я сно теперь, 
что 
D(F )
есть л инейное м ногооб разие функций ви д а 
и ( х ) =
= а ( х )
- j- т) (х ), где 
ц
£5 
(а, 
b)\
если р ассм атр и вать
D (F )
к а к часть п р о ст р ан с тв а Z.2 (a,' 
b),
то, как н ет р у д н о видеть, 
ф у н к ц и о н ал
F
у д о в л е т в о р я е т требованиям 1 — 3 § §
2,
3 гл. 3. 
С оставим вариацию
bF(tt, -ц) —
ь
=
ф ( х ’ “ + Я71> м' + а1)'> •••> Н<*> - h «ч**1) r fjc | «- . 0 ==
а
=
\
V
( * ) +
2
( * ) ]
dx.
(4 )
a 
j*=
1
П у с т ь ф ункция н ( х ) т а к о в а , что
^ Г /, 
(х, и (х), и' (х) . . .
и<*> (х)), 
J
= 1, 2, . . . ,
k,
им еет обоб щ ен н ую .прои зводн ую /- г о п оряд ка *), и сумма
i 
г »
е
( 5 )
/■=1
*) По теореме 2.4.2 это означает, что указанная функция непре­
рывна на сегменте 
\а, Ь\
вместе с производными до порядка 
j
— 1
включительно, причем производная порядка 
j
— 1
абсолютно непре­
рывна на этом сегменте.

---

П о ф о р м у л е (1 .1 ) гл. 2 имеем т о гд а
ъ 
ь
$ 
Ш Г
Ч(/> ( * ) * * = ( “ 1/ $
а
и, сл ед о в ател ьн о ,
ъ
8
F (w , 7!)— $ [ J a + J ( — ^ - ^ т - д а ] Ч W i » .
(б)
а 
/ = 1 
J
И н те гр а л ( 6 ) есть ф ункционал о т
ц,
ограниченны й в 
Ц
( 2 ); 
отсю д а следует, что функция 
и ( х )
с описанны м и вы ш е с в о й ­
ствами п ри н ад леж и т области D ( g r a d
F),
и для тако й ф ун кц и и
( g r a d F ) ( H) = | 5 + 2 ( -
(7 )
/ - 1
Д о п у ск ая , что функция, р еал и зу ю щ ая минимум ф у н к ц и о ­
нала ( 1) при условиях (3), су щ е с т в у е т и о б л а д а ет свойствам и, 
описанными выш е, можно для это й ф ункции написать у р а в ­
нение Э йлера. О но состоит из д и ф ф ер е н ц и ал ь н о го у р ав н ен и я 
п о р яд к а 
2k
д
Г и + Ь - ' У - £ т Ш = 0
(8)
/ - 1
и к р ае в ы х условий (3).
С к азан н о е в этом п ар агр аф е очевидны м о б р а зо м п е р е н о ­
сится на случай многих независим ы х перем енны х. Д л я ф у н к ­
ционала
W
^ r - ................................№
5
> 
^ 
дху 
dxm дх, 
dx^J
при к р а е в ы х условиях 
» |г = « , ( * ) . * г = я ( * ) . . . . .
=
.(*)>
(Ю )
где v — норм аль к Г, уравнение Э й л е р а со сто и т из гран и ч н ы х

---

условий ( 10) и ди ф ф ер ен ц и ал ьн о го уравн ен и я в частн ы х п р о ­
извод н ы х 2 Л-го п о р я д к а
что л е гк о п р и во д и тся к виду
Д4и = 0.
§ б. Ф ун к ц и он ал ы , за в и с я щ и е о т неск ольк и х ф ун к ц и й
Д л я у п р о щ ен и я зап и си ограничимся случаем одной неза­
висим ой перем енной 
и дв у х ф ункций; доп усти м ещ е, что 
ф у н к ц и о н ал зави си т о т производны х эти х ф ункций п оряд ка 
не вы ш е п ерв ого. П е р е х о д к общ ем у случаю н е вы зы вает 
затруднений.
И так, рассм отри м ф ун кц и он ал
Зад а д и м е г о на п а р а х {и, г>} функций из С 11) [а,