И здан и е второе, стереотипное

и 
D
 
(g rad
F3),
 
то и н тегр ал (2 5 ) есть ограниченны й 
в i j ( 0 , 1) ф ункционал о т tj; он о стан е тся 
ограниченны м , 
если •») подчинить дополнительны м условиям
V ( 0 ) = i j ' ( l ) = 0. 
( 2 6 )
Н о т о гд а мы оказы ваемся в у сл о в и ях § 4. В наш ем сл у ч ае 
Ф = а* + н'2 + и"* — 2 / ( * ) и 
и, следовательн о,
д
±
— 2и' 
и"
д и ' ~ г и ’ 
д и " ~ г и '
К ак и в § 4, допустим, что | ^ = 2 н " им еет обоб щ ен н ую
вто р у ю производную . Э то значит, что 
и"'
аб со л ю тн о н е п р е ­
ры вна, а 
и(1)
суммируема. В со о тветстви и с ф ор м у л о й (4 .5 ) 
п о тр еб у ем , чтобы
[- « " + H(4)] G ^ ( 0 , !)•
Н о и " п р о ст о непреры вна, п о это м у н адо тр е б о в ать , чтобы
H(4) £ Z . a (0, 1). П ри этом, к а к в том ж е § 4,
(grad 
Ft)
(и) = 2 
[а
-
и"
 + и<*> - / ( * ) ] .
( 2 7 )
О т к а ж е м с я теперь о т условий ( 2 6 ) и п р о и н те гр и р у е м по 
частям в т о р о й и третий члены с п р а в а в (25):
1
(«> tq) = = 2 ^ [м — к " -f- “ (i) —
f ( x ) \ т^ х
+
о
+ h " ( 1) V ( 1) - « " ( 0 ) Y ( 0 ). 
(2 8 ) 
И н те гр а л в (2 8 ) — ограниченны й ф у н к ц и о н ал о т tj, a t j '( 1 )

---

и 
ц'(Р),
к а к н етр у д н о видеть, неограниченны е. П о это м у , если 
11
0*0 G
D
( ё га^ 
F,)
и у д о в л етв о р я ет указанны м вы ш е условиям
д и ф ф ер е н ц и р у ем о сти , 
то
и (х )
необходим о у д о в л етв о р я ет 
следую щ им условиям , естественны м для ф ун кц и о н ал а (23):
и " ( 0 ) = н " ( 1 ) = 0. 
(2 9 )
У равн ени е Э й л ер а для э т о го ф ункционала св од и тся к д и ф ­
ф ер ен ц и ал ь н о м у уравнению
н (1) — и " + н = / ( . * )
(3 0 )
и к р ае вы м условиям (2 4 ) и (29).

---