И здан и е второе, стереотипное

(и),
(5)
гд е Ф ( и ) — к в ад р ат и ч н ая ф орм а, 
1(и)
— линейный ф ункционал.
П р и м е р . Самое простое гильбертово пространство есть веще­
ственная ось. С калярное умножение здесь — умножение чисел, 
а норма — абсолютная величина числа. Многочлен второй степени 
без свободного члена есть квадратичный функционал.
Другой, более важный п р и м е р, с которым нам придется иметь 
дело впоследствии, — это квадратичный функционал

---

§ 2. Положительно определенные операторы
1. 
Во всем последую щ ем мы ч асто б уд ем рассм атривать 
о п е р а т о р ы , действую щ ие в ги л ьб ер то в о м
п р о стр ан с тве 
Н.
Е с л и э то т о п ер а то р буд ет обозначен, ск аж ем , буквой 
А,
т о
о б л а с т ь его определения будем о б о зн а ч а ть ч е р ез Щ Л ) , о б ­
л а с т ь значений — ч ер ез 
R(A).
Г о в о р я, ч т о о п е р а т о р
А
д е й ст­
в у е т в п р о стр ан стве 
Н,
мы, к ак обы чн о, поним аем под этим, 
что 
D
( Л ) d
И
и 
R (A )
С Я
Г о в о р я об о п е р а то р е
А,
дей ству ю щ ем в ги льб ертовом
п р о с т р а н с т в е
Н,
мы всегда будем п р ед п о л агать, что 
А
—
линейны й *) о п ер а то р и что о б л а сть е г о оп р ед ел ен и я п лотна 
в 
Н,
т. е. 
D ( A ) — H
(здесь ч е р та с в е р х у о б о зн ач ает за м ы к а­
ние в м етрике простран ства 
И).
О п е р а т о р
А,
действую щ ий в ги л ь б ер то в о м п р о стр ан стве, 
н азы в а етс я