И здан и е второе, стереотипное

симметричным,
если 
D (A ) — H
и если для лю ­
бы х 
t i , v £ D ( A )
сп раведли во т о ж д е с т в о
(Ли, 
v) — (и, Av).
(1 )
Если Л — симметричный о п ер а то р , то
(Аи,
г»), гд е
и, v
£
D ( A \
— сим м етричны й билинейный ф у н к ц и о н ал и (Ли, и ) — к в а д ­
р а т и ч н а я форма.
П р и м е р 1. В пространстве 
Н
=
Lt (Q)
рассмотрим интеграль­
ный оператор
K u = \ K ( x , y ) u ( y ) d y .  
(
2
)
2
Предположим, что интеграл кратности 
2т
(х, у ) d x d y
s
&
конечен. Такой оператор определен на всем пространстве (см. ниже, 
те орем а 7.2.1). Если 
К
(*, 
у) = К (у,
*), то оператор (2) симметри­
чен. Д окаж ем это.
С оставим скалярное произведение
и (у)
rfyj 
dx.
По т е о р ем е Фубини можно изменить порядок интегрирования:
d x \ dy.
(К и, v) ■
■
К (х, у) v (х)
(Ка, v) = ^ v ( x )
У)
') Т о есть аддитивный и однородный, но, может быть, неогра­
ниченный.

---

Изменим обозначение 
х  
на 
у, 
а 
у  
на 
х:
(Ка, V) =  ^ и (х) 
К (у, х ) v (у) rfyj. d x  =
=
|
и 
(х ) 
К (х, 
у )
v 
(у) 
rfyj 
d x
= (Kv, 
и) 
= (а, АТ»),
так как в вещественном пространстве порядок множителей скаляр­
ного произведения можно менять.
П р и м е р 2. В пространстве 
Н — L3
(0, 1) рассмотрим оператор
. 
d su 
...
А
и
<3)
Пусть 
D (А) 
состоит из функций 
и, 
удовлетворяющих следующим 
двум требованиям:
« 6 С ‘2' [ 0 , 1],
и (0 ) = и ( 1 ) = 0 . 
(4 )
Очевидно, что определенный таким образом оператор 
А
линейный. 
Докажем, что он симметричный и что 
D (А) — Н.
М ножество 
D
(/4) функций из С (3) [ 0 ,1], удовлетворяющих кра­
евым условиям (4), содержит как свою часть плотное в Z.s (0,1) 
множество функций, финитных на сегменте [0, 1]. П о следствию 
1.3.1 множество 
D (А) 
само плотно в 
Ц  
(0, 1).
О стается доказать, что оператор 
А 
удовлетворяет условию сим­
метричности (1). Для этого составим скалярное произведение М и , о), 
где 
и, v  
£
D (А), 
т. е. 
и, v  
£ С ,а» [0, 1] и
и (0) = и ( 1) = 0; 
г> (0) = » ( 1) = 0.
И нтегрируя по частям и учитывая, что внеинтегральные члены ис­
чезают в силу только что написанных краевых условий, получим 
1
1 
(Аи,
v) 
— —
\
(*) 
и" (х) d x —
^u' 
(х) 
V' 
(х) d x —
I
= —
(х) V" ( х ) d x  = (и, 
Av).
'о
2
. 
О п р е д е л е н и е 1. Симм етричны й о п е р а т о р
А
н азы ­
ва етс я 
положительным,
если к вад рати чн ая ф о р м а (
Аи, и)~
э=0 
и 
(Аи, и) =
0 то гд а и т о л ь к о тогд а, к о гд а м = 0 .
Н ап р и м ер , о п е р а т о р (3 ) — (4) п о л о ж и тел ьн ы й . Чтобы у б е ­
д и т ь с я в это м , состави м к вад рати чн ую ф орм у
i
(Аи,
ы )= = — ^ 
и ^ d x .
о

---

И н т е гр и р у я по частям и принимая во внимание усл о в и я (4), 
найдем
то гд а 
и'(х) = 0
и 
и
( х ) = co n st. Т еп ерь из услови й (4 ) вы т е­
к ает, что 
и (х) ~
0 .
О п р е д е л е н и е 2 . С имметричный о п е р а то р
А
н азы ва­
ется 
положительно определенным,
если
Это о п р ед ел ен и е равносильно таком у: симметричный о п е р а т о р
А
н азы вается полож ительно определенны м , если с у щ е ст в у ет 
такая постоянная 
что
Н е р а в е н с т в о (7) будем назы вать 
неравенством положитель­
ной определенности.
О чеви д н о, что всякий п о л о ж и т ел ьн о оп ред ел ен н ы й о п е ­
рат о р одноврем енно является и п олож ительны м . О б р а т н о е , 
в о о б щ е го во р я, неверно.
П р и м е р . Докажем, что оператор (3) — (4) положительно оп­
ределенный. Напишем формулу Ньютона — Лейбница:
(Аи,
и) = 5 
и ^ ( х ) й х ^ 0 .
(5)
(5 )
Д оп усти м , что 
(Аи, и) — 0
и, следов ательн о, § 
и'гй х —
0. Н о
о
(