И здан и е второе, стереотипное

и
^
ИА.
С ущ ествует п о ­
след ов ательн ость эл ем ен т о в
un ^ D ( A )
такая, что
| « я — « | —»• О, 
II И я — И II - *
о.
п
-*■ 
00
п
—
►
со
Д л я элем ентов 
ип
н еравен ств о (3 ) сп раведли во:
I I " »
1 1 < - у 1 « 4
П ер ех о д я к п р ед ел у при я - * о о и п о л ьзу я сь непреры в­
ностью нормы, получим
11
« 11< у И
и £ Н А,
что и т р е б о в ал о сь до к азать .
Мы ввели э н е р ге ти ч е ск о е п р о и звед ен и е с помощью р а ­
вен ств а ( 1):
[и, v] — (Au,v), 
и, v
D (А).
Д о к аж е м сп р ав е д л и в о с ть это го равен ства в б о л е е общем с л у ­
чае 
и 
D(A), v
£
ИА.
Е сли
v
£
НА,
то сущ ествует п осл ед о вател ьн о сть
v n { z D ( A ) ,
|г>„ — г » | - * 0 , 
| |
v„
—
v
f| - > 0 .
п 
оо 
п 
—
►
со
Д л я элем ентов 
и
и 
v n
равен ство (1 ) сп раведли во:
[и. г»п} = (Ан, к„).
П о н епреры вности ск а л я р н о го произведения
[и, 
v n\
- >
[и, v], 
(Аи, v n)
- »
(Аи, v).
п -*
00 
я -» 00

---

С оп оставляя п р а в ы е части, находим
[и, т>] = (Ли, •&); 
и
£
D ( A \
v
£
НА.
( 6 )
2 . 
В кач естве прим ера найдем э н е р ге т и ч е с к о е п ростр ан ство
о п е р а т о р а Л § 2. Н апомним, что в это м сл у ч ае 
Н — Ц
(0, 1), 
о п е р а т о р о п р ед ел е н ф орм улой
а ф ункции 
и
из 
D
(Л ) у д овлетворяю т условиям
и
£ С (2) [0, 1], 
и ( 0 ) = к ( 1) = 0 .
Д ок аж ем , что в рассм атриваем ом с л у ч а е п р о ст р ан с тво
Н
а
со с то и т из те х и то л ь к о тех ф ункций, к о т о р ы е об лад аю т 
следую щ ими свойствам и: 
1
) они аб со л ю тн о непреры вны на 
сегм енте [0 , 1 ]; 2 ) их первы е п р о и зв о д н ы е на этом сегм ен те 
суммируемы с квад р ато м ; 3) в т о ч к а х х = 0 и 
х = \
эти
ф ункции об р а щ аю т ся в нуль.
К а к мы видели в § 2,
1
[и, 
v]A
= § 
rf (х)т/ (x )d x ; 
и, v £ D(A).
о
П о л агая зд есь 
v = u,
получим ф о р м у л у д л я нормы 
1
|
и
|*д = $ н'* ( * )
dx, 
а
£
D
(Л). 
(7 )
о
1. 
П усть 
и
— произвольны й элем ен т п р о ст р ан с тв а 
Н А.
П о те о р ем е 5.3.1 
и £ Ц ( 0 ,
1) и с у щ е с т в у е т та ка я п о с л е д о ­
в ательн ость 
{ип), Un €zD(A)>
ч т 0
S н „ — и | - > 0 , 
И м „ — и || -► 0 .
п
—*■ со 
п
- * оо
Б удучи сходящ ейся 
к элем енту и, э т а п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
сход и тся в себе, поэтом у
|и „ — нт | - * 0 .
т . л -кх>
Н о к „ —