N djurayev, B. E. Eshmatov ehtimolliklar nazariyasi


tengsizlik о‘rinli.  Isbot



Download 3,64 Mb.
Pdf ko'rish
bet20/50
Sana14.06.2022
Hajmi3,64 Mb.
#667391
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   50
Bog'liq
fayl 1557 20210824

 
tengsizlik о‘rinli. 
Isbot.
 



X
M
Х
hodisa
 


1
2
2



Х
M
Х
hodisaga teng kuchli. U holda,
 


 















1
2
2


X
M
Х
P
X
M
X
P

Yuqoridagi lemmadan, shuningdek matematik kutilma xossalari va dispersiya 
ta’rifidan quyidagiga ega bо‘lamiz. 
 


 


 




 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1





X
D
X
D
X
M
Х
M
X
M
Х
M
X
M
Х
P






















Shunday qilib,
 


 
2


X
D
X
M
X
Р




Qarama-qarshi hodisalar ehtimolliklari yig‘indisi birga tengligidan 
 


 
2
1


X
D
X
М
Х
Р




(6.4)
 
(6.3) va (6.4) 
Chebishev tengsizligi 
deyiladi (P.L.Chebishev, 1821-1894, rus 
matematigi).
(6.4) tengsizlik, agar 

yetarlicha kichik bо‘lsa tasodifiy miqdor о‘zining 
matematik kutilmasiga yaqin qiymat qabul qilishi ehtimolligini baholashni 
anglatadi. 
1-misol.
X
diskret tasodifiy miqdor dispersiyasi 
 
.
001
,
0

X
D
X
ning 
 
X
М
dan chetlanishi 0,1 dan kattaga farq qilish ehtimolligini baholang. 
Yechish:
 


 
1
,
0
01
,
0
001
,
0
1
,
0
1
,
0
2





X
D
X
M
X
Р



38 
Izoh.
 
Chebeshev tengsizligining nazariy ahamiyati juda katta. Ammo, 
amaliyotda Chebishev tengsizligining ahamiyati cheklangan, chunki ba’zi 
hollarda u qо‘pol, ba’zan esa trivial baho beradi. Masalan,
 
2


X
D
bо‘lsa, 
u holda, 
 
1
2


X
D
va
 
,
0
1
2



X
D
bu esa mumkin emas. 
6.2 Chebishev teoremasi (katta sonlar qonuni) 
Agar bog’liqsiz
X
1

X
2
, ….
X
n
tasodifiy miqdorlar dispersiyalari yagona 
о‘zgarmas 
C
sondan katta bо‘lmasa, ya’ni 
 


n
i
C
X
D
i
,
1


u holda, har 
qanday kichik 
0


son uchun 
 



X
M
Х
hodisaning ehtimolligi 
tasodifiy miqdorlar soni 
n
yetarlicha katta bо‘lganda birga yaqin bо‘ladi, ya’ni 
 


1
lim






X
M
Х
P
n
(6.5)
 
bu yerda,
n
Х
Х
Х
Х
n
...
2
1



Isboti
(6.4) Chebishev tengsizligiga asosan, 
 


 
2
1


X
D
X
M
Х
P




(6.6) 
Dispersiyani xossasidan 
 
 






n
С
n

X
D
X
D
X
D
n
X
D
n






2
2
1
2
...
1
Bu yerda, (6.6) tengsizlik va har qanday hodisaning ehtimolligi birdan 
oshmasligidan 
 


n
С
X
M
X
P
2
1
1







(6.7)
 
(6.7) tengsizlikdan 


n
da limitga о‘tib, (6.5) ni hosil qilamiz. 
2-misol

X
1

X
2
,..., 
X
n
,… о‘zaro bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi 
quyidagi taqsimot qonun bilan berilgan: 
X
n
n


n

 
n
1
n
2
1

n
1
Bu ketma-ketlikka Chebishev tengsizligini qо‘llash mumkinmi? 
Yechish:
Masalani shartidan 
X

(
n
=1, 2...) tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz, 
demak, teoremaning birinchi sharti bajariladi. Endi, ularning dispersiyalari tekis 
chegaralanganlik shartining bajarilishini tekshiramiz.
Avvalo, 
M
(
X
n
) va 
M
(
X
n
2
) larni topamiz. 
0
1
)
2
1
(
0
1
)
(








n
n
n
n
n
Х
М
n
.
2
1
)
(
)
2
1
(
0
1
)
(
)
(
2
2
2
2









n
n
n
n
n
Х
М
n


39 
Demak,
.
2
))
(
(
)
(
)
(
2
2



n
n
n
X
М
X
М
Х
D
(
n
=1, 2...) 
Shunday qilib, berilgan 
X
n
tasodifiy miqdorlar har birining dispersiyasi 2 soni 
bilan tekis chegaralangan. Bu ketma-ketlikka Chebishev teoremasini qо‘llash 
mumkin.
Chebishev teoremasini bir asosiy 
xususiy hol
ini qaraymiz. 
Agar 
barcha tasodifiy miqdorlar bir xil matematik kutilmaga ega ya’ni
 




а
X
M
X
M
X
M
n




....
2
1
va 
 


n
i
C
X
D
i
,
1


bо‘lsa , u holda,


1
)
lim






a
Х
P
n
(6.8)
 
Chebishev teoremasining mazmuni quyidagicha: Ayrim bog’liqsiz 
tasodifiy miqdorlar о‘z matematik kutilmalaridan ancha farq qiladigan 
qiymatlar qabul qilsada, yetarlicha katta sondagi tasodifiy miqdorlar о‘rta 
arifmetigi 
Х
ularning matematik kutilmasining о‘rta arifmetigiga katta 
ehtimollik bilan yaqin bо‘ladi. 
Eslatma.
Statistikada qо‘llaniladigan tanlanma usuli Chebishev teoremasiga 
asoslangan. 
6.3 Bernulli teoremasi 
Chebishev teoremasining xususiy hollaridan biri 
«Katta sonlar qonuni»
bilan yuritilgan Bernulli teoremasini qaraymiz. 
Teorema 
Agar 
n
ta bog’liqsiz sinovning har birida 
A
hodisaning rо‘y berish 
ehtimolligi 
p
ga teng va sinovlar soni yetarlicha katta bо‘lsa, u holda, har qanday 
0


son uchun 
1
lim












p
n
m
P
n
(6.9)
 
Isboti.
X
i
bilan bog’liqsiz
i
- sinovda hodisaning rо‘y berishlar sonini 
belgilaymiz 


n
i
,
1

.U holda,
m
=
X
1
+
X
2
+….+
X
n

Х
n
X
X
n
m
n



....
1
 
p
X
M

,
q
=1-
p
,
 
np
X
D
i

,
p+q
=1 ekanligidan
4
1

pq
.
Shunday qilib,
 
4
1

i
X
D
va 
X
i
(
i
=
1

n
) tasodifiy miqdor uchun Chebishev 
teoremasining barcha shartlari bajariladi. Demak, (6.8) formula (6.9) ga 
aylanadi. 
Bernulli teoremasining amaliy ahamiyati quyidagicha:
yetarlicha katta 
bog’liqsiz sinovlarning har birida 
A
hodisaning rо‘y berish ehtimolligi 
о‘zgarmas 
p
songa teng bо‘lsa, 
A
hodisaning rо‘y berish nisbiy chastotasi uning 
ehtimolligidan kam farq qiladi.
 
 


40 
О‘Z-О‘ZINI TEKSHIRISH UCHUN SAVOLLAR 
1.Katta sonlar qonunining mohiyati nimadan iborat. 
2.Yetarlicha katta sondagi bog’liqsiz tasodifiy miqdorlarning arifmetik о‘rtacha 
qiymati tasodifiylik xususiyatini yо‘qotadimi? 
3.Chebishev tengsizligini yozing. 
4.Chebiyev teoremasini ayting. 
5.Chebishev teoremasining amaliy ahamiyati nimadan iborat. 
6.Bernulli teoremasi va uning amaliy ahamiyati. 
7.Bernulli teoremasiga asoslanib 
p
n
m
n



lim
ni kо‘rsating? 
Mustaqil yechish ushun mashqlar 
1.Agar 
 
001
,
0

X
D
bо‘lsa, 
 
1
,
0


X
M
X
ning ehtimolligini Chebishev 
tengsizligi bо‘yicha baholang. J:
9
,
0

p
2.
A
hodisaning har bir sinovda rо‘y berish ehtimolligi
2
1
ga teng.Agar 100 ta 
bog’liqsiz sinov о‘tkaziladigan bо‘lsa,
A
hodisaning rо‘y berishlari soni 
X
ning 
40 dan 60 gacha bо‘lgan oraliqda yotish ehtimolligini Chebishev tengsizligidan 
foydalanib baholang. J:
0,75 
3. Har bir sinovda hodisaning rо‘y berish ehtimolligi 
4
1
ga teng. Agar 800 ta 
sinov о‘tkaziladigan bо‘lsa, hodisaning rо‘y berish soni 
X
ning 150 dan 250 
gacha bо‘lgan oraliqda yotish ehtimolligini Chebishev tengsizligidan foydalanib 
baholang. J:
0,94
4.
X
diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan: 
X
0,1 
0,4 
0,6 

 
0,2 
0,3 
0,5 
Chebishev tengsizligidan foydalanib ,
 
4
,
0


X
M
X
bо‘lish ehtimolligini
baholang. J: 0,909
5.Berilgan joyning quyoshli kunlari soni 
X
о‘rtacha qiymati 100 kundan va 
о‘rtacha kvadratik chetlanishi 20 kundan iborat tasodifiy miqdordan iborat. 
Hodisa ehtimolligini yuqoridan baholang:


,
150


Х
А


.
200


Х
B
6.Korxonananing texnik ehtiyoji uchun kunlik zaruriy suv miqdori tasodifiy 
miqdor bо‘lib, matematik kutilmasi 125 m
3
. Yaqin kunlarda korxonaga kunlik 
suv miqdori sarfi 500 m
3
ga kо‘payish ehtimolligini baholang. 
7.Yо‘lovchining poyezdga kechikish ehtimolligi 0,007 ga teng. 20 000 
yо‘lovchidan 100 tadan 180 tagachasi poyezdga kechikish mumkinligi 
ehtimolligini baholang. 


41 
8.Xaridorning dо‘kondagi mahsulotga ehtiyoji ehtimolligi 0,25 ga teng. 2500 ta 
kutilayotgan xaridorning mahsulotga bо‘lgan ehtiyojining 0,25 ehtimoldan 
chetlanishi absolyut qiymati 0,06 dan oshmaslik ehtimolligini baholang. 
9
.
 
,
9
,
0
)
(




X
M
X
P
 
004
,
0

X
D
lar 
berilgan. 
Chebishev 
tengsizligidan foydalanib, 

ni toping.
10. Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi 
...
,
,
...
,
,
2
1
n
X
X
X
ushbu 
taqsimot qonuni bilan berilgan: 
Bu ketma-ketlikka Chebishev teoremasini qо‘llash mumkinmi? 
J: Qо‘llash mumkin


Download 3,64 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   50




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish