N djurayev, B. E. Eshmatov ehtimolliklar nazariyasi

 
2 
4 
6 
8 
10 
i
Y
 
3 
5 
4 
2 
6 
.Quyidagi korrelyatsion jadvallarda keltirilgan ma’lumotlar bо‘yicha Y ning X
ga va X ning Y ga nisbatan regressiya tо‘g’ri chiziqlarining tanlanma 
tenglamalarini toping. 
6. 
X 
Y
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
n
y
100 
2 
1 
- 
-
-
-
-
-
3 
120 
3 
4 
3 
-
-
-
-
-
10 
140 
-
-
5 
10 
8 
-
-
-
23 
160 
-
-
-
1 
- 
6 
1 
1 
9 
180 
-
-
-
-
-
-
4 
1 
5 
n
x 
5 
5 
8 
11 
8 
6 
5 
2 
n=50 

---

131 
7. 
X 
Y 
18 
23 
28 
33 
38 
43 
48 
n
y
125 
- 
1 
-
-
-
-
-
1 
150 
1 
2 
5 
- 
-
-
-
8 
175 
-
3 
2 
12 
-
-
-
17 
200 
-
- 
1 
8 
7 
-
16 
225 
-
-
-
-
3 
3 
-
6 
250 
-
-
-
-
- 
1 
1 
2 
n
x
1 
6 
8 
20 
10 
4 
1 
n=50 
8.Quyida 
berilgan 
korrelyatsion 
jadvallardagi 
ma’lumotlar 
bо‘yicha 
C
Bx
Ax
y
x



2
regressiya tanlanma tenglamasini va 
yx

tanlanma 
korrelyatsion nisbatni toping. 
У
Х 
0 
4 
6 
y
n
-1 
2 
3 
5 
1 
4 
1 
5 
x
n
4 
3 
3 
10

n
9.Quyidagi korelyatsion jadval bо‘yicha Y ning X ga nisbatan egri chiziqli 
regressiya tenglamasini tuzing. 
y
x 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
n
y 
15 
5 
7 
- 
- 
- 
- 
12 
25 
- 
20 
23 
- 
- 
- 
43 
35 
- 
- 
30 
47 
2 
- 
79 
45 
- 
- 
10 
11 
20 
6 
47 
55 
- 
- 
- 
9 
7 
3 
19 
n
x
5 
27 
63 
67 
29 
9 
n=200 

---

132 
 
 

---

133 
 
 
 
 
 
 

---

134 
 
 
 
 

---

135 
5-ilova 
χ
2 
 taqsimotning kritik nuqtalari 
Qiymatdorlik darajasi 
K 
Ozodlik 
darajasi 
soni 
0,01 
0,025 
0,05 
0,95 
0,975 
0,99 
1 
6,6 
5,0 
3,8 
0,0039 
0,00098 
0,00016 
2 
9,2 
7,4 
6,0 
0,103 
0,051 
0,020 
3 
11,3 
9,4 
7,8 
0,352 
0,216 
0,115 
4 
13,3 
11,1 
9,5 
0,711 
0,484 
0,297 
5 
15,1 
12,8 
11,1 
1,15 
0,831 
0,554 
6 
16,8 
14,4 
12,6 
1,64 
1,24 
0,872 
7 
18,5 
16,0 
14,1 
2,17 
1,69 
1,24 
8 
20,1 
17,5 
15,5 
2,73 
2,18 
1,65 
9 
21,7 
19,0 
16,9 
3,33 
2,70 
2,09 
10 
23,2 
20,5 
18,3 
3,94 
3,25 
2,56 
11 
24,7 
21,9 
19,7 
4,57 
3,82 
3,05 
12 
26,2 
23,3 
21,0 
5,23 
4,40 
3,57 
13 
27,7 
24,7 
22,4 
5,89 
5,01 
4,11 
14 
29,1 
26,1 
23,7 
6,57 
5,63 
4,66 
15 
30,6 
27,5 
25,0 
7,26 
6,26 
5,23 
16 
32.0 
28,8 
26,3 
7,96 
6,91 
5,81 
17 
33,4 
30,2 
27,6 
8,67 
7,55 
6,41 
18 
34,8 
31,5 
28,9 
9,39 
8,23 
7,01 
19 
36,2 
32,9 
30,1 
10,1 
8,91 
7,63 
20 
37,6 
34,2 
31,4 
10,9 
9,59 
8,26 
21 
38,9 
35,5 
32,7 
11,6 
10,3 
8,90 
22 
40,3 
36,8 
33,9 
12,3 
11,0 
9,54 
23 
41,6 
38,1 
35,2 
13,1 
11,7 
10,2 
24 
43,0 
39,4 
36,4 
13,8 
12,4 
10,9 
25 
44,3 
40,6 
37,7 
14,6 
13,1 
11,5 
26 
45,6 
41,9 
38,9 
15,4 
13,8 
12,2 
27 
47,0 
43,2 
40,1 
16,2 
14,6 
12,9 
28 
48,3 
44,5 
41,3 
16,9 
15,3 
13,6 
29 
49,6 
45,7 
42,6 
17,7 
16,0 
14,3 
30 
50,9 
47,0 
43,8 
18,5 
16,8 
15,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

136 
 
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 
 
1. Abdushukurov A.A., Zuparov T.M. Ehtimollar nazariyasi va matematik 
statistika, T.2015y. 
2.Боровков А.А. Математическая статистика, Наука 1984 г. 
3.Боровков А.А. «Теория вероятностей», Наука 1986 г. 
4.Гмурман В.Е. Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика,Ўқитувчи, 
1977 й. 
5.Гмурман В.Е. Эҳтимоллар назарияси ва математик статистикадан 
масалалар ечишга доир қўлланма, Ўқитувчи, 1980 й. 
6. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Й. Элементарное введение в теорию 
вероятностей, Наука 1982 г. 
7.Гутер Р.С., Овчинников Б.В. Эҳтимоллар назарияси асослари, Ўқитувчи 
1978 й. 
8.Ивченко Г.И. др. Сборник задач по математической статистики, 
“Высшая школа” 1989. 
9. Карасаев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика, 
М.19704г. 
10.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика, 
М.2004г. 
11. Rasulov A.S. va boshq. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika, 
T.2006y. 
12.Formanov Sh.Q. Ehtimolliklar nazariyasi, T.2014y. 

---

137 
MUNDARIJA 
 
 
Kirish…......................................................................................
3
 
1-bob.Ehtimolliklar nazariyasi
 
§1. Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari va 
ta’riflar 
………………………………………………………..
 
 
 
5 
1.1. 
Asosiy ta’riflar............................................................................ 
5 
 
1.2. 
Nisbiy chastota. Statistik ehtimol................................................. 
6 
 
1.3. 
Kombinatorika elementlari.......................................................... 
1.4.Geometrik ehtimol…………………………………………. 
7 
9 
§2. Ehtimolliklarni qо‘shish va kо‘paytirish teoremalari...
11
 
2.1. 
Bog‘liq 
va 
bog’liqsiz 
hodisalarni 
birgalikda 
rо‘y 
berishi..................................................................................... 
13
 
2.2. 
Birgalikdagi hodisalar ehtimolliklarini qо‘shish…………… 
14
 
2.3. 
Tо‘la ehtimollik. Beyes formulasi.............................. ………… 
14
 
§3. Bog’liqsiz sinovlarning takrorlanishi............................ 
17
 
3.1. 
Bernulli formulasi..................................................................... 
17
 
3.2. 
Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari..................... 
19
 
3.3. 
Puasson asimptotik formulasi................................................ 
20 
3.4. 
Bog’liqsiz 
sinovlarda 
nisbiy 
chastotaning 
о‘zgarmas 
ehtimoldan chetlanishi.............................. .............................. 
22
 
3.5. 
Hodisa rо‘y berishining eng ehtimolli soni…….. 
23
 
 
§4. Tasodifiy miqdorlar …………………………………...
25
 
4.1. 
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni.......................
26
 
4.2. 
Binomial taqsimot.............................. ..................................
28
 
4.3. 
Puasson taqsimoti.............................. ................................... 
29
 
 
§5. 
Diskret 
tasodifiy 
miqdorning 
sonli 
xarakteristikalari……………………………………………. 
31
 
5.1. 
Diskret 
tasodifiy 
miqdorning 
matematik 
kutilmasi.............................. ................................................
31 
 
5.2. 
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.............................. 
32
 
5.3. 
Nazariy momentlar.............................. ................................. 
34
 
 
§6. Katta sonlar qonuni...................................................... 
36
 
6.1. 
Chebishev tengsizligi.............................. .............................. 
36
 
6.2. 
Chebishev teoremasi.............................................................. 
38
 
6.3. 
Bernulli teoremasi.............................. ................................... 
39
 
§7. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimoti……………………..
41
 
7.1. 
Taqsimot funksiyasi.................................................................... 
41
 
7.2. 
Taqsimotning zichlik funksiyasi............................. ................... 
44
 
7.3. 
Uzluksiz tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari.......... 
46
 
§8. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot qonunlari ……….. 
49
 

---

138 
8.1. 
Tekis taqsimot qonuni................................................................. 
49
 
8.2. 
8.3
.
 
Normal taqsimot................................................................... 
Asimmetriya va eksses…………………………………. 
50 
53 
8.4. 
Normal 
tasodifiy 
miqdorning 
berilgan 
chetlanishi 
ehtimolligi.............................. ............................................... 
55
 
8.5. 
Kо‘rsatkichli taqsimot.............................. ............................ 
55
 
 
§9. Kо‘p о‘lchovli tasodifiy miqdorlar…………………….. 
59 
9.1. 
Ikki о‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning 
taqsimot qonuni………………………………………………..
 
59 
9.2. 
Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdor taqsimotining integral 
funksiyasi va uning xossalari…………………………...……… 
61 
9.3. 
Tasodifiy nuqtaning tо‘g‘ri tо‘rtburchakka tushishehtimolligi.. 
63 
9.4. 
Ikki о‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik 
funksiyasi……………………………………………………....
 
64 
9.5. 
Bog‘liq va bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar…………………….. 
67 
9.6. 
Shartli taqsimot qonunlari…………………………………… 
68 
9.7. 
Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. 
Korrelyatsiya momenti. Korrelyatsiya koeffitsenti……………. 
71 
9.8. 
Ikki о‘lchovli normal taqsimot……………………………....... 
2-BOB
.
 Matematik statistika
74 
§10.
Tanlanma usulning matematik asoslari…………………… 
78 
10.1. 
Bosh va tanlanma tо‘plam.............................. ...................... 
78
 
10.2. 
Tanlanmaning statistik taqsimoti........................................... 
79
 
10.3. 
Taqsimotning empirik funksiyasi........................................... 
80
 
10.4. 
Poligon va gistogramma.............................. ........................... 
81 
 
§11.Taqsimot parametrlarini statistik baholari……………. 
84
 
11.1. 
Statistik baho.............................. .......................................... 
84
 
11.2. 
Bahoning aniqligi. Ishonchli interval………………………… 
85 
11.3. 
Tanlanma о‘rtacha qiymat…………………………………… 
86
 
11.4. 
Tanlanma dispersiya…………………………………………. 
88
 
 
§12. Normal taqsimot parametrlari uchun ishonchlilik 
intervali………………………………………………………. 
91
 
12.1. 
Normal taqsimotning dispersiyasi ma’lum bо‘lganda matematik 
kutilma uchun ishonchli intervallar…………………………… 
91
 
12.2. 
Normal taqsimotning dispersiyasi noma’lum bо‘lganda 
matematik kutilma uchun ishonchli intervallar……………… 
 
93 
12.3 
 
Normal taqsimotning о‘rtacha kvadratik chetlanishini baholash 
uchun ishonch intervallari …………………………………….
 
§13. Tanlanmaning yig‘ma xarakteristikalarini hisoblash 
usullari………………………………………………………. 
94 
98
 
13.1. 
Shartli variantalar……………………………………………. 
98
 
13.2. 
Tanlanma 
о‘rtacha 
qiymat 
va 
tanlanma 
dispersiyani 
hisoblashning kо‘paytmalar usuli…………………………… 
99
 
13.3. 
Dastlabki 
variantalarni 
teng 
uzoqlikdagi 
variantalarga 

---

139 
keltirish………………………………………………………. 
101
 
13.4. 
Variatsion qatorning boshqa xarakteristikalari……………. 
104
 
 
§14. Gipotezalarni statistik tekshirish……………………. 
106
 
14.1. 
Statistik gipoteza............................... ……………………….. 
106
 
14.2. 
Statistik alomat. Pirsonning 
2

moslik alomati……………… 
108
 
 
§15. Korrelyatsiya nazariyasi elementlari………………….. 
119
 
15.1. 
Statistik va korrelyatsion bog‘lanish……………………….. 
119
 
15.2. 
Regressiya tenglamasi va regressiya chizig‘i............................. 
120
 
15.3. 
Chiziqli regressiya............................. .................................. 
120
 
15.4. 
Regressiya tо‘g‘ri chizig‘i tanlanma tenglamasi parametrlarini 
guruhlangan ma’lumotlar bо‘yicha topish………………….. 
123
 
15.5. 
Egri chiziqli korrellyatsiya.................................................... 
126 
 
 
Ilovalar ………………………………………………………. 
132 
 
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………. 
136