N djurayev, B. E. Eshmatov ehtimolliklar nazariyasi

Eslatma.
1. Agar 
r=0
, bо‘lsa u holda 
X 
va 
Y
lar chiziqli korrelyatsion 
bog‘lanmagan.
2. Agar 
1

r
bо‘lsa, 
 X 
va 
Y
lar funksional bog‘langan. 

---

125 
2-misol
. Quyidagi korelyatsion jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bо‘yicha 
Y 
ning 
X 
ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzing.
Y\X 
5 
10 15 20 25 
30 35 40 
n
u
100 
2 
1 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
3 
120 
3 
4 
3 
- 
- 
- 
- 
- 
10 
140 
- 
- 
5 10 
8 
- 
- 
- 
23 
160 
- 
- 
- 
1 
- 
6 
1 
1 
9 
180 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
4 
1 
5 
n
x
5 
5 
8 11 
8 
6 
5 
2 50 
Yechish
. Shartli variantalarga о‘tamiz. 
;
5
20
1
1




i
i
i
x
h
C
x
u
bu yerda, 
C
1
- coxta nol sifatida eng katta chastotaga ega 
x
=20 varianta olindi, 
h
1
=5 qadam qо‘shni variantalar orasidagi ayirmaga teng (10-5=5); xuddi 
shuningdek, 
;
20
140
2
2




i
i
i
у
h
С
у
v
;
140
2

С
20
2

h
. 
;
3
5
20
5
5
20
1






i
x
u
;
2
5
20
10
2




u
;
1
3


u
;
0
4

u
;
1
5

u
;
2
6

u
;
3
7

u
.
4
8

u
Xuddi shuningdek, 
;
2
20
140
100
20
140
1
1






у
v
;
1
2


v
;
0
3

v
;
1
4

v
;
2
5

v
Endi shartli variantalar bо‘yicha korrelyatsion jadval tuzamiz: 
v
\
u
 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
n
υ
-2 
2 
1 
3 
-1 
3 
4 
3 
10 
0 
- 
- 
5 
10 
8 
23 
1 
- 
- 
- 
1 
- 
6 
1 
1 
9 
2 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
4 
1 
5 
n
u
5 
5 
8 
11 
8 
6 
5 
2 
50 
,
u
,
v
u

va 


larni hisoblaymiz: 
2
,
0
50
10
50
2
4
5
3
6
2
8
1
8
1
5
2
5
3



















n
u
n
u
i
i
u

---

126 
06
,
0
50
3
50
5
2
9
1
10
1
3
2













n
u
n
v
j
j
v
64
,
3
50
2
16
5
9
6
4
8
1
8
1
5
4
5
9
2















u
.
02
,
1
50
51
50
5
4
9
1
10
1
3
4
2










v
897
,
1
6
,
3
04
,
0
64
,
3
)
(
2
2






u
u
u

992
,
0
036
,
0
02
,
1
)
(
2
2





v
v
v

. 

uv
n
uv
ni hisoblaymiz. Jadvaldan,
87
8
24
4
3
12
3
8
9
4
12
1
4
2
4
3
2
1
4
1
1
3
1
6
0
1
3
)
1
(
)
1
(
4
)
2
(
)
1
(
3
)
3
(
)
1
(
1
)
2
)(
2
(
2
)
3
(
2





















































uv
n
uv
Izlanayotgan korrelyatsion koeffitsiyentni topamiz 
918
,
0
106
,
94
6
,
0
87
992
,
0
897
,
1
50
06
,
0
2
,
0
50
87














v
u
uv
n
v
u
n
uv
n
r


Bu kattalik 1 (bir) soniga ancha yaqin bо‘lib,
u
va 
v
(umuman, 
X
va 
Y
) lar 
orasida kuchli chiziqli bog‘lanish borligini kо‘rsatadi. 
Shunday qilib, yuqoridagilarga asosan, 
;
21
20
5
2
,
0
1
1







c
h
u
x
;
2
,
141
140
20
06
,
0




y
;
485
,
9
5
897
,
1
1





h
u
x


84
,
19
20
992
,
0
2





h
v
y


Topilganlarni (15.9) ga qо‘yamiz: 
)
21
(
475
,
9
84
,
19
918
,
0
2
,
141




х
y
х
yoki
83
,
100
92
,
1


х
y
х
 
 
15.5 Egri chiziqli korrelyatsiya
Agar regressiya tenglamasi egri chiziq bilan tasvirlansa 
korrelyatsiya 
egri chiziqli
deyiladi. 
Masalan, 
Y 
ning 
X
ga nisbatan regressiya tenglamalari 
quyidagi kо‘rinishlarda bо‘lishi mumkin. 
c
bx
ах
y
х



2
(ikkinchi tartibli parabolik) 

---

127 
d
cx
bх
ах
y
х




2
3
(uchinchi tartibli parabolik)
b
x
a
y
х


(giperbolik) 
c
а
b
y
x
х



(kо‘rsatkichli) 
Eng sodda egri chiziqli korrelyatsiya – parabolik korrelyatsiyadir: 
c
bx
ах
y
х



2
(15.10)
 
X
va 
Y 
son belgilar orasidagi bog‘lanish korrelyatsion jadval bilan berilgan 
bо‘lsin. 
Chiziqli korrelyatsiya bо‘lgan holdagi kabi (15.10) regressiya 
tenglamasining parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli yordamida topamiz va 
nо‘malum 
a, b, c
parametrlarga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasini hosil 
qilamiz: 










































k
i
k
i
k
i
k
i
x
x
i
x
i
x
i
x
i
k
i
k
i
k
i
k
i
x
x
i
x
i
x
i
x
i
k
i
k
i
k
i
k
i
x
x
x
x
i
x
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
y
x
n
x
c
n
x
b
n
x
a
n
y
x
n
x
c
n
x
b
n
x
a
n
y
n
c
n
x
b
n
x
a
1
1
1
1
2
3
4
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
2
2
(15.11) 
bu yerda,
i
j
i
х
m
j
y
j
x
n
n
y
у




1
Sistemadan topilgan 
a, b, c
parametrlar (15.10) tenglamaga qо‘yiladi va natijada 
izlanayotgan regressiya tenglamasi hosil qilinadi.
 
3-misol
Ushbu kuzatish 
X 
0 
2 
4 
6 
8 
10 
Y 
5 
-1 -0,5 1,5 
4,5 8,5 
ma’lumotlari bо‘yicha 
Y
ning 
X
ga nisbatan regressiya egri chizig‘i tenglamasini 
toping.
Yechish.
Tenglamani (14.10) parabolik kо‘rinishda izlaymiz. Quyidagi 
hisoblashlar jadvalini tuzamiz. 
T/r 
i
x
i
y
2
i
x
i
x
i
y
3
i
x
4
x
2
i
x
i
y
1 
0 
5 
0 
0 
0 
0 
0 
2 
2 
-1 
4 
-2 
8 
16 
-4 
3 
4 
-0,5 
16 
-2 
64 
256 
-8 
4 
6 
1,5 
36 
9 
216 
1296 
54 
5 
8 
4,5 
64 
36 
512 
4096 
288 
6 
10 
8,5 
100 
85 
1000 
10000 850 
JAMI
30 
18 
220 
126 
1800 
15664 1180 

---

128 
Jadvaldan foydalanib, (15.11) tenglamalar sistemasini yozamiz:














18
6
30
220
126
30
220
1800
1180
220
1800
15664
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Soddalashtiramiz:














9
3
15
110
63
15
110
900
295
55
450
3918
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Sistemadan 
c
parametrni yо‘qotamiz: 







390
525
5704
18
35
350
b
a
b
a
Sistemani yechamiz: 
840
3178

a
,
2643
,
0

a
, 
2643
,
0
350
18
35



b
25
,
0

b
b
a
c





15
110
9
3
7809
,
0

c
Shunday qilib, izlangan regressiya tenglamasi 
.
7809
,
0
25
,
0
2643
,
0
2



x
x
У
4-misol
.
Y
hosildorlik (1 gektarga s hisobida)ni yerning haydash chuqurligi 
X
(sm) ga bog‘liqligi jadval yordamida berilgan. 
X/Y 
10 
12 
14 
16 
n
x
 
0 
4 
1 
- 
- 
5 
10 
- 
2 
3 
2 
7 
20 
- 
1 
4 
4 
9 
30 
- 
2 
2 
3 
7 
40 
- 
2 
3 
1 
6 
50 
2 
2 
2 
- 
6 
n
y 
6 
10 
14 
10 
40 
Hosildorlik va haydov chuqurligi bog‘liqligi kо‘rinishini aniqlang va regressiya 
tenglamasini tuzing. 
Yechish
. Avvalo, 
Y
ning 
x
i
ni qiymatlariga mos 
i
x
y
(guruhli о‘rtacha) 
qiymatlarini topamiz. 
;
4
,
10
5
1
12
4
10
1
s
y
x





;
14
7
2
16
3
14
2
12
2
s
y
x







;
3
44
9
4
16
4
14
1
12
3
s
y
x







;
7
100
4
s
y
x

,
;
3
41
5
s
y
х

.
12
s
y


---

129 
Kо‘rinib turibdiki, guruhli о‘rtacha qiymatlar dastlab о‘sib sо‘ngra 
kamayadi. Bu esa 
Y
va 
X
lar orasida parabolik korrelyatsion bog‘liqlik 
borligidan dalolat beradi.Regressiya tenglamasini (15.10) kо‘rinishda izlaymiz 
va (15.11) normal tenglamalar sistemasini yozamiz. Buning uchun quyidagi 
yordamchi jadval tuzamiz: 
T/
r 
i
x
i
x
n
i
x
y
i
x
x
n
i
i
x
i
n
x
2
i
x
i
n
x
3
i
x
i
n
x
4
i
i
x
x
n
y
i
i
x
x
i
n
y
x
i
i
x
x
i
n
y
x
2
1 
0 
5 
10,4 
0 
0 
0 
0 
52 
0 
0 
2 
10 
7 
14 
70 
700 
7000 
70000 
98 
980 
9800 
3 
20 
9 
3
44
180 
3600 
72000 
144000 
132 
2640 
52800 
4 
30 
7 
7
100
210 
6300 
189000 
5670000 
100 
3000 
90000 
5 
40 
6 
3
41
240 
9600 
384000 
15360000 
82 
3280 
131200 
6 
50 
6 
12 
300 
15000 
750000 
37500000 
72 
3600 
180000 

40 
1000 35200 1402000 
60040000 
536 
13500 
463800 
Natijada quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. 














536
40
1000
35200
13500
1000
35200
1402000
463800
35200
1402000
60040000
c
b
a
c
b
a
c
b
a
yoki 














134
10
250
88000
135
10
352
14020
2319
176
70100
300200
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Sistemani yechib,
;
9575
,
10

с
;
2913
,
0

b
0055
,
0


a
larni topamiz.Shunday qilib, izlangan regressiya tenglamasi 
.
9575
,
10
2913
,
0
0055
,
0
2




x
x
Y