|
MATRISALAR ALGEBRASI
Bizga kommutativ halqada hamma tartibli
,
(1)
yoki qisqacha
(2)
matrisalar
to’plami berilgan bo’lsin.
to’plamda
ikkita matrisalar teng deyiladi, agarda ularning mos satr va ustuni elementlari
teng bo’lsa.
to’plamda qo’shish amalini quyidagicha aniqlaymiz:
deb, bu matrisalarning mos satr va ustun
elementlarini qo’shish natijasi hosil bo’lgan tartibli matrisasiga aytamiz, ya’ni
agar
ko’rinishda bo’lsa, u holda
(3)
bo’ladi,
,
bo’lganligidan
.
Qo’shish amali kommutativ
bo’lishligi ko’rinib turibdi. Osonlik bilan ko’rish mumkinki, qo’shish assosiativ,
ya’ni
uchun
.
Elementlari nollardan iborat
matrisa neytral matrisa va
matrisaga
qarama-qarshi matrisa bo’ladi va demak shunday aniqlangan qo’shish amaliga
nisbatan
abel gruppasi bo’ladi.
Endi biz
to’plamga ko’paytirish amalini quyidagicha aniqlaymiz:
va
matrisalarning ko’paytmasi deb, shunday
matrisaga aytiladiki,
uning satr va ustunida turgan elementi
matrisaning satridagi va
matrisaning ustunidagi mos elementlar ko’paytmasining yig’indisiga teng,
ya’ni element
(4)
yig’indidan iborat. Berilgan ta’rifdan ko’rinib turibdiki, shunday ko’paytirish
natijasida hosil bo’lgan
matrisa tartibli kvadratik matrisa bo’lib, uning
elementlari ga qarashlidir, ya’ni
bo’ladi.
Misol 1
.
da berilgan
va
matrisalarning ko’paytmasi
bo’ladi.
Matrisalarni ko’paytirish kommutativ emas, ya’ni
.
Masalan, berilgan misolimizda
bo’lib,
bo’ladi.
Matrisalarni ko’paytirish assosiativdir, ya’ni
uchun
o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, agar
,
,
yozib, so’ngra
deb olib,
ko’rsatishimiz kerak. Biroq
va shuning uchun
tengliklarga ko’ra
ya’ni
.
Shunday qilib, matrisalarni ko’paytirish amaliga nisbatan
polgruppa (yarimgruppa) bo’lar ekan. Agar biz
kommutativ halqada 1 birlik
halqa deb olsak, u holda
matrisa birlik matrisa bo’ladi, ya’ni
tenglik o’rinlidir va demak
polugruppa monoiddir.
monoidni gruppa bo’lishligi uchun undagi har bir matrisani
teskarilanuvchi bo’lishligini tekshirishimiz zarur bo’ladi, ya’ni
va
tenglikni qanoatlantiruvchi
matrisani mavjudligini ko’rsatish
lozim bo’ladi. Bunday matrisa umuman olganda hamma vaqt ham mavjud
bo’lavermaydi, masalan,
matrisaga teskari matrisa mavjud emas,
chunki
.
Endi
kiritilgan qo’shish va ko’paytirish amallarini bog’lovchi
distributivlik, ya’ni
uchun
qonunini o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham,
tenglikni o’rinli bo’lishligini chap tomoni
matrisaning -satri va -
ustunida turgan elementidan iborat, o’ng tomon esa
matrisalarning
xuddi shu yerda turuvchi elementidir. Ikkinchi
tenglikning to’g’riligi ham xuddi shu yo’l bilan ko’rsatiladi.
Shunday qilib,
nokommutativ halqa bo’ladi va bu halqa 1
birlik halqa bo’ladi, agar
kommutativ halqa 1 birlik halqa bo’lsa. Bu halqa
butun sohali halqa bo’lolmaydi, chunki halqada nolning bo’luvchilari mavjud.
Masalan,
da
va
bo’lib, ularning
ko’paytmasi
nol matrisadan iboratdir. Tabiiyki,
halqaning kiritilgan amallarga
nisbatan maydon bo’lishligi gap so’z bo’lishi ham mumkin emas.
halqada qo’shish va ko’paytirish amallaridan bo’lak tashqi
ko’paytma deb ataluvchi ko’paytma ham qaraladi:
va
uchun
shunday tashqi ko’paytmadan hosil bo’lgan
bo’ladi, chunki
ham tartibli matrisa bo’lib,
.
kommutativ 1 birlik halqa uchun
da kiritilgan tashqi
ko’paytma uchun quyidagi xossalar
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
.
,
uchun o’rinli bo’ladi.
kiritilgan bu uchta amallarga nisbatan matrisalar algebrasi (xudi
shu hislatni ko’phadlar halqasida aytib, uni ko’phadlar algebrasi) deb ham
aytiladi.
Matrisalarga kiritilgan qo’shish amalini to’g’ridan-to’g’ri nokvadrat, ya’ni
tartibli matrisalar
to’plamida ham berish bo’lsin. Natijada
to’plam shunday aniqlangan qo’shish amaliga nisbatan abel gruppasi
bo’ladi, lekin
to’plamga
da aniqlangan ko’paytirish amalini
kirita olmaymiz, chunki birinchisining satrlar soni ikkinchisining ustunlar soniga
teng emas, ammo
dagi matrisalar uchun tashqi ko’paytmani
to’g’ridan to’g’ri kirita olamiz va ular uchun 6 xossadan boshqa hamma qolgan
xossalar o’rinli bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
