|
Xossa 8.8.
Agar determinantning biror satri qolgan satrlarining chiziqli
kombinasiyasidan iborat bo’lsa, u holda determinant nolga teng bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, determinantning satri
nchi satrlarining
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsin, ya’ni
.
U holda determinant xossa 8.2.ga asosan yig’indilarga yoyib, bu yig’indi
hadlardan xossa 8.3. ga asosan
chiqaramiz va natijada yig’indi
hadli determinantlarda satrlari bir xil determinantlar bo’lib, xossa 21.6. asosan
ularning hammasi nollarga teng bo’ladi.
Endi biz determinantlarni hisoblashda muhim ahamiyat ega bo’lgan oxirgi
xossani keltiramiz.
Xossa 8.9.
Agar determinantning biror satrini biror-bir
elementga
ko’paytirib, boshqa bir satriga qo’shsak, uning qiymati o’zgarmaydi.
Isbot. Determinantni
nchi satrini ga ko’paytirib,
nchi satriga
qo’shamiz:
determinantdan
.
Bizga xarakteristikasi nol bo’lgan
maydonda
nchi tartibli
determinant berilgan bo’lsin. Xossa 8.9.dan foydalanib, bu determinantda
yetarlicha nollar paydo qilishimiz mumkin (II tip elementlar almashtirish kabi!)
va natijada determinant, ya’ni yig’indini hisoblashni ancha yengillashtiramiz va
agarda biz determinantning xossa 8.5.dan foydalansak (I tip elementar
almashtirishlar kabi!) biz determinant uchbrchaksimon shakli yoki zinapoyali
(trapesiyasimon) shaklga olib kelamiz. Ikkinchi holat bo’yicha determinant nolga
teng bo’ladi, chunki nolli satrlar hosil bo’ladi, agarda determinant
uchburchaksimon shaklga, ya’ni
,
ko’rinishni olsa, u holdan determinant to’g’ridan to’g’ri foydalangan holda
hosil qilamiz. (Shuni ta’kidlaymizki, bu ishlarni II halqada ham bajarish
mumkin!).
Misol
. Ushbu determinantni determinantlarni xossalaridan foydalanib,
hisoblaymiz:
Uchburchak usuli bilan hisoblab determinant 22 teng bo’lishligiga ishonch hosil
qiling.
Biz
kommutativ halqada (bu yerda biz
halqa sifatida,
sonli butun halqa va sonli maydonlar deb bilamiz va agar bizga kiritilaytgan
tushunchalar va ularni xossalarini tasvirlashda biror-bir holat yuz bermasa,
xarakteristikasi nol yoki nol bo’lmagan maydonlar deb ham qarashimiz
mumkin).
nchi tartibli kvadratik
matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisani ixtiyoriy ta satr va
ustunlarining
kesishgan (o’chirilgan) joylaridan
-nchi tartibli determinant tuzib olamiz.
Hosil bo’lgan determinantga
determinantning
-nchi tartibli minori
deyiladi.
Xususan, determinantda bitta satr va bitta ustunni (
) kesishgan joyida
bitta element bo’ladi, ya’ni determinantning elementlari ham minorlar bo’lishi
mumkin. O’chirilmay qolgan elementlaridan tuzilgan determinant
tartibli determinant bo’lib, unga minorning to’ldiruvchi minori deyiladi. Minor
va to’ldiruvchi minorlarni qulaylik uchun
va
lar bilan belgilab olamiz.
Shuni ta’kidlaymizki,
va
determinantlar bir-birini o’zaro to’ldiruvchi
minorlar juftligi deb ham ataladi. Xususan, determinantning
nchi satr va
nchi ustunini kesishmasida turgan
element birinchi tartibli va uning
o’chirilmay qolgan elementlaridan tuzilgan to’ldiruvchi minor
tartibli
minor bo’lib, ular birgalikda o’zaro to’ldiruvchi minorlar juftini tashkil qiladi.
Agar
tartibli
minor
satr va
ustunlarining
kesishmasidan tuzilgan bo’lsa, u holda
, (2)
bu yerda
minorning
algebraik to’ldiruvchi deyiladi.
Matrisaning bosh diagonalida joylashgan
va hokazolar, xususan
ning o’ziga bosh minorlar deb ataladi.
Endi
nchi tartibli bosh minorni o’z algebraik to’ldiruvchisiga
ko’paytmasini qaraymiz:
.
U holda
juft son bo’ladi va demak
bo’ladi.
minorning ixtiyoriy hadi
,
unga oid o’rniga qo’yish
bo’lib,
bo’lsin. Xuddi shunday
minorning ixtiyoriy hadi
bo’lib,
va bu
o’rniga qo’yishning signaturasi bo’lsin.
Hosil bo’lgan ko’paytmalarni ko’paytmasi
bo’lib, bu ko’paytma determinantning turli satr va ustunlaridan bittadan olingan
ta elementlarning ko’paytmasidan iborat va -nchi tartibli determinantning
hadi bo’ladi. Endi bu ko’paytmaning ishorasi
, xuddi shu
ishoraga
nchi tartibli determinant ham ega bo’lishligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham, bu hadning indekslaridan tuzilgan
o’rniga qo’yishning faqat
ta inversiyasi bor, chunki hyech qaysi
hyech bir
bilan inversiya tuza olmaydi, ya’ni barcha
lar dan katta
emas, barcha
lar
dan kichik emas.
Shunday qilib, bu quyidagi lemmani isbot qildik:
Do'stlaringiz bilan baham: |
