Sh. A. Alimov, O. R. Xolmuhamedov, M. A. Mirzaahmedov

304
. Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagining tangensi
2 2 ga teng. Shu burchakning kosinusini toping.
305
. Agar 
cos
4
4
a
a
-
=
sin
1
8
bo‘lsa, cos
a
ni toping.
306
. 1) sin
a =
2 3
5
bo‘lsa, cos
a
ni toping;
2) cos
a = -
1
5
bo‘lsa, sin
a
ni toping.
307
. tg
a = 
2 ekanligi ma’lum. Ifodaning qiymatini toping:
1) 
ctg
tg
ctg
tg
a
a
a
a
+
-
;
2) 
sin
cos
sin
cos
a
a
a
a
-
+
;
3) 
2
3
3
5
sin
cos
sin
cos
a
a
a
a
+
-
;
4) 
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
2
a
a
a
a
+
-
.

---

128
308
. sin
a
a
+
=
cos
1
2
ekanligi ma’lum. 1) sin
a 
cos
a
; 2) sin
3
a + 
cos
3
a
ifodalarning qiymatlarini toping.
309
. Tenglamani yeching:
1) 2sin
x
+ 
sin
2
x
+ 
cos
2
x
= 
1;
2) sin
2
x
- 
2
= 
sin
x
- 
cos
2
x
;
3) 2cos
2
x
- 
1
= 
cos
x
- 
2sin
2
x
;
4) 3
- 
cos
x
= 
3cos
2
x
+ 
3sin
2
x.
 
 24- §.
 TRIGONOMETRIK AYNIYATLAR
1 - m a s a l a .
Z
Î
p
¹
a
k
k
,
bo‘lganda
1
2
2
1
+
=
ctg
sin
a
a
(1)
tenglikning o‘rinli ekanligini isbotlang.
Kotangensning ta’rifiga ko‘ra ctg
cos
sin
a
a
a
=
va shuning uchun
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
+
= +
=
=
+
ctg
cos
sin
sin
cos
sin
sin
a
a
a
a
a
a
a
.
(2)
Bu shakl almashtirishlar to‘g‘ri, chunki 
a ¹ p
k
, 
k
Î
Z
bo‘lganda
sin
a ¹
0. 
(1) tenglik 
a
ning mumkin bo‘lgan barcha (joiz) qiymatlari uchun
o‘rinli, ya’ni uning chap va o‘ng qismlari ma’noga ega bo‘ladigan barcha
qiymatlari uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Bu kabi tengliklar 
ayniyatlar
deyiladi,
bunday tengliklarni isbotlashga doir masalalar ayniyatlarni isbotlashga
doir masalalar deyiladi.
Kelgusida ayniyatlarni isbotlashda, agar masalaning shartida talab
qilinmagan bo‘lsa, burchaklarning joiz qiymatlarini izlab o‘tirmaymiz.
2- m a s a l a .
Ayniyatni isbotlang: cos
2
a = 
(1
- 
sin
a
)(1
+ 
sin
a
).
(1
- 
sin
a
)(1
+ 
sin
a
)
= 
1
- 
sin
2
a = 
cos
2
a
. 
3- m a s a l a .
Ayniyatni isbotlang: 
cos
sin
sin
cos
a
a
a
a
1
1
-
+
=
.
Bu ayniyatni isbotlash uchun uning chap va o‘ng qismlarining
ayirmasi nolga teng ekanligini ko‘rsatamiz:

---

129
cos
sin
sin
cos
cos
(
sin
)
cos (
sin )
cos
cos
cos (
sin )
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
1
1
1
2
2
2
2
0
-
+
- -
-
-
-
-
=
=
=
. 
1–3- masalalarni yechishda 
ayniyatlarni isbotlashning quyidagi usul-
laridan 
foydalanildi: o‘ng qismida shakl almashtirib, uni chap qismiga
tengligini ko‘rsatish; o‘ng va chap qismlarining ayirmasi nolga
tengligini ko‘rsatish. Ba’zan ayniyatlarni isbotlashda uning o‘ng va
chap qismlarining shaklini almashtirib bir xil ifodaga keltirish qulay.
4- m a s a l a . 
Ayniyatni isbotlang: 
1
1
2
2
4
4
-
+
=
-
tg
tg
cos
sin
a
a
a
a
.
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-
+
-
+
-
+
=
=
=
-
tg
tg
sin
cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin
cos
sin
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
cos
4
a - 
sin
4
a = 
(cos
2
a - 
sin
2
a
)(cos
2
a + 
sin
2
a
)
= 
cos
2
a - 
sin
2
a
.
Ayniyat isbotlandi, chunki uning chap va o‘ng qismlari cos
2
a -
- 
sin
2
a 
ga teng. 
5- m a s a l a .
Ifodani soddalashtiring: 
1
tg
ctg
a
a
+
.
1
1
2
2
tg
ctg
sin
cos
cos
sin
sin cos
sin
cos
sin cos
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
=
=
. 
Trigonometrik ifodalarni soddalashtirishga doir masalalar yechish-
da, agar masalaning shartida talab qilinmagan bo‘lsa, burchaklarning
qabul qilishi mumkin bo‘lgan joiz qiymatlarini topmaymiz.
M a s h q l a r
310.
Ayniyatni isbotlang:
1) (
cos )(
cos ) sin
1
1
2
-
+
=
a
a
a
; 2) 2
1
2
2
-
-
=
sin
cos
a
a
;
3) 
sin
sin
tg
2
2
2
1
a
a
a
-
=
;
4) 
cos
cos
ctg
2
2
2
1
a
a
a
-
=
;
5) 
1
1
2
2
1
+
+
=
tg
sin
a
a
;
6) 
1
1
2
2
1
+
+
=
ctg
cos
a
a
.
311.
Ifodani soddalashtiring:
1) cos
tg
sin
a
a
a
×
-
2
;
2) cos
sin
ctg
a
a
a
-
×
;
3) 
sin
cos
2
1
a
a
+
;
4) 
cos
sin
2
1
a
a
-
.
9 – Algebra, 9- sinf uchun

---

130
312.
Ifodani soddalashtiring va uning son qiymatini toping:
1) 
sin
cos
, bunda
2
2
1
1
6
a
a
p
a
-
-
=
;
2) 
1
3
2
1
cos
, bunda
a
p
a
-
=
;
3) cos
ctg
sin
, bunda
2
2
2
6
a
a
a
a
p
+
+
=
;
4) cos
tg
sin
, bunda
2
2
2
3
a
a
a
a
p
+
+
=
.
313.
Ayniyatni isbotlang:
1) (1
- 
sin
2
a
)(1
+ 
tg
2
a
)
= 
1;
2) sin
2
a
(1
+ 
ctg
2
a
)
- 
cos
2
a = 
sin
2
a
.
314.
a
ning barcha joiz qiymatlarida quyidagi ifoda ayni bir xil
qiymatni qabul qilishini, ya’ni 
a
ga bog‘liq emasligini isbotlang:
1) (
tg
) cos
1
2
2
+
a
a
;
2) sin
(
ctg
)
2
2
1
a
a
+
;
3) 1
1
2
2
2
+
+
æ
èç
ö
ø÷
tg
sin
cos
2
sin
a
a
a
a
;
4) 
1
1
+
+
-
tg
ctg
2
2
2
tg
a
a
a
.
315.
Ayniyatni isbotlang:
1) (
cos
)(
cos
)
sin
1
2
1
2
2
2
-
+
=
a
a
a
;
2) 
sin
cos
sin
a
a
a
-
+
= -
1
1
1
2
;
3) cos
sin
cos
sin
4
4
2
2
a
a
a
a
-
=
-
;
4) (sin
cos
)
cos
sin
sin
cos
2
2
2
2
2
4
4
2
a
a
a
a
a
a
-
+
=
+
;
5) 
sin
cos
cos
sin
sin
a
a
a
a
a
1
1
2
+
+
+
=
;
6) 
sin
cos
cos
sin
a
a
a
a
1
1
-
+
=
;
7) 
1
1
1
1
2
2
1
+
+
+
=
tg
ctg
a
a
;
8) tg
sin
tg
sin
2
2
2
2
a
a
a
a
-
=
.
316.
Ifodani soddalashtiring va uning son qiymatini toping:
1) 
(sin
cos )
sin
(
ctg
),
a
a
a
p
a
a
+
-
+
=
2
2
2
1
3
bunda 
;
2) (
tg
)
,
(sin
cos )
cos
1
2
2
2
6
+
-
=
-
a
a
a
a
a
p
bunda 
.
317.
Agar sin
a - 
cos
a = 
0,6 bo‘lsa, sin
a
cos
a 
ning qiymatini toping.
318.
Agar cos
a - 
sin
a = 
0,2 bo‘lsa, cos
3
a - 
sin
3
a 
ning qiymatini toping.
319.
Tenglamani yeching:
1) 3cos
2
x
- 
2sin
x
= 
3
- 
3sin
2
x
;
2) cos
2
x
- 
sin
2
x
= 
2sin
x
- 
1
- 
2sin
2
x.

---

131
 25- §.
a 
VA 
-a 
BURCHAKLARNING SINUSI,
KOSINUSI, TANGENSI VA KOTANGENSI
Aytaylik, birlik aylananing 
M
1
va 
M
2
nuqtalari 
P
(1; 0) nuqtani mos
ravishda 
a
va 
-a
burchaklarga burish natijasida hosil qilingan bo‘lsin
(68- rasm). U holda 
Ox
o‘q 
M
1
OM
2
burchakni teng ikkiga bo‘ladi va
shuning uchun 
M
1
va 
M
2
nuqtalar 
Ox
o‘qqa nisbatan simmetrik joy-
lashgan. Bu nuqtalarning abssissalari bir xil bo‘ladi, ordinatalari esa
faqat ishoralari bilan farq qiladi. 
M
1
nuqta (cos
a
; sin
a
) koordinatalarga,
M
2
nuqta (cos(
-a
); sin(
-a
)) koordinatalarga ega. Shuning uchun
sin(
-a
)
= -
sin
a
, cos(
-a
)
= 
cos
a.
(1)
Tangensning ta’rifidan foydalanib, hosil qilamiz:
tg(
)
tg
sin(
)
cos(
)
sin
cos
-
=
=
= -
-
-
-
a
a
a
a
a
a
.
Demak,
tg(
-a
)
= -
tg
a
.
(2)
Shunga o‘xshash,
ctg(
-a
)
= -
ctg
a.
(3)
(1) formula 
a
ning istalgan qiymatida o‘rinli bo‘ladi, (2) formula
esa 
a
p
p
¹ +
Î
2
k k Z
,
bo‘lganda o‘rinlidir.
Agar 
a p
¹
Î
k k Z
,
bo‘lsa, u holda ctg(
-a
)
= -
ctg
a
bo‘lishini ko‘rsa-
tish mumkin.
(1)–(2) formulalar manfiy burchaklar
uchun sinus, kosinus va tangensning
qiymatlarini topishga imkon beradi.
Masalan:
sin(
)
sin
-
= -
= -
p
p
6
6
1
2
,
cos(
)
cos
-
=
=
p
p
4
4
2
2
,
tg(
)
tg
-
= -
= -
p
p
3
3
3 .
68- rasm.
P
(1; 0)
(sin–
a
)
cos
a
sin
a

---

132