Giperbola va uning kanonik tenglamasi

Giperbola va uning kanonik tenglamasi
Tekislikda fokuslari deb ataluvchi berilgan F₁ va F₂ nuqtalargacha masofalari ayirmasi absolut qiymati o`zgarmas kattalikka (nolga teng emas va fokuslar orasidagi masofadan kichik) teng nuqtalar to`plamiga giperbola deyiladi.
Agar o`zgarmas kattalik 2a, fokuslar orasidagi masofa 2c orqali belgilansa va yuqorida ellips uchun tanlangan koordinatalar sistemasi tanlansa, u holda giperbola tenglamasi quyidagi kanonik ko`rinishga keladi:
, bu yerda b ² = c ² – a ² (c > a).
Giperbola fokuslari: F₁(-c; 0) va F₂(c; 0) (4-rasm).
0 nuqta giperbolaning simmetriya markazi, koordinata o`qlari esa uning simmetriya o`qlaridir. Giperbola abssissa o`qini haqiqiy uchlari deb ataluvchi A<sub>1</sub>(-a; 0) va A<sub>2</sub>(a; 0) nuqtalarda kesadi.
0A = a kattalik uning haqiqiy yarim o`qi deyiladi. B₁(0; -b) va B₂(0; b) nuqtalar giperbolaning mavhum uchlari deyilsa, 0B₂ = b kattalik uning mavhum yarim o`qi deyiladi.
Giperbolaning asosiy to`g`ri to`rtburchagi deb, markazi koordinatalar boshida, tomonlari koordinata o`qlariga parallel va uning uchlaridan o`tuvchi to`g`ri to`rtburchakka aytiladi.
Giperbola o`zining ikkita tenglamalar bilan aniqlanadigan asimptotalariga ega. Giperbola asimptotalari uning asosiy to`g`ri to`rt-burchagi diagonallaridir. Giperbolani qurish uchun dastlab uning asosiy to`g`ri to`rtburchagini va asimptotalarini qurgan ma`qul.
Giperbola ekstsentrisiteti bo`lib, uning asosiy to`g`ri to`rt-burchagining cho`zinchoqligini xarakterlaydi.
Simmetriya markazi (x₀; y₀) nuqtada va simmetriya o`qlari koordinata o`qlariga parallel giperbola

tenglama bilan aniqlanadi. Yarim o`qlari teng, ya`ni a = b giperbolaga teng tomonli giperbola deyiladi. Teng tomonlama giperbola tenglamasi x² – y² = a² ko`rinishda bo`lib, uning asosiy to`g`ri to`rtburchagi kvadratdan iborat va ekstsentrisiteti ga teng.

4-rasm. 5-rasm.

Masala. Asimptotalari tenglamalar bilan berilgan, fokus-lari orasidagi masofa 10 birlikka teng bo`lgan giperbola tenglamasini tu-zing.
Giperbola fokuslari abssissa o`qida yotadi deb qarab, uning kanonik tenglamasini tuzamiz: .
Fokuslar orasidagi masofa F₁F₂ = 2c = 10 bo`lganidan, c = 5.
Giperbola uchun c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> bo`lganidan va berilganidan foydalanib, quyidagi sistemani tuzamiz va uni yechamiz:

Sistema yechimi: va . Demak, giperbola tenglamasi kanonik tenglamadan iborat (5–rasm).