Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011



Download 0,96 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/19
Sana11.03.2020
Hajmi0,96 Mb.
#42090
TuriРеферат
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19
Bog'liq
C12012


Z







n



n

x

;

2



. Так как решения долж-

ны 


удовлетворять 

неравенству 

4

3

2









n

,  то,  сократив  на 

 ,  по-


лучим 

4

3



2

1

1







n

  или 


4

1

2



3





n

.  С 


учетом  того,  что 

Z



n

,  получаем  два 

значения 

1





n

  и 


0



n

.  Если 

0



n

,  то 


2



x

, если 


1



n

, то 


2





x

2. 













,

2



6

5

,



2

6

5



,

0

sin



n

x

n

x

x

 

Z



n

.  


Так  как  должно  выполняться  условие 

4

3







x

, то для первой серии имеем  











4



3

2

6



1

1

4



3

2

6



n

n

 

0



24

7

12



7







n

n

Отсюда получаем 



6



x

Для второй серии имеем  











4



3

2

6



5

1

4



3

2

6



5

n

n

 

24



1

12

11







n

Последнее  неравенство  не  имеет  цело-



численных решений. 

Ответ: 

;

2



 



;

2



 

6



. 

Пример  17.  Найти  все  решения  сово-

купности  уравнений  



,



0

cos


,

0

5



cos

x

x

  принад-

лежащие отрезку 

]

2



;

1

[





Решение. Найдем решения совокупно-

сти уравнений 





0



cos

0

5



cos

x

x

  










,



2

,

5



10

n

x

k

x

Z



n



k,

Заметим,  что  первую  серию  решений 



можно  записать  в  виде 

10

)



2

1

(



k

x



,  а 


вторую  – 

2

)



2

1

(



n

x



.  Отсюда  можно 

заметить,  что  решения  второй  серии  со-

держатся  в  первой,  так  как  их  можно  за-

писать в виде  

10

))



2

5

(



2

1

(



10

)

10



5

(

2



)

2

1



(









n



n

n

x

Поэтому  первая  серия  решений  совокуп-



ности  содержит  все  корни  исходной  со-

вокупности  уравнений.  Можем  записать 

5

10

k



x





Z



k

.  Решим  двойное  не-

равенство 

2

5

10



1





k

    


20

2

10







k

  

  






20

2



10

k

    


  







2

20

2



10

k

    


  

2

1



10

2

1



5







k

Так как 



16

17

2



1

2

,



3

5

2



1

5







2



1

10

  



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

12 



6

17

2



1

3

10





  и 

Z



k

,  то 

2



k

.  Тогда 

2

5

2



10







x



Ответ: 

2





исследование уравнения 

с двумя целочисленными параметрами 

Пример  18.  Решить  систему  уравне-

ний





.



1

2

5



sin

,

1



2

cos


x

x

 

Решение. Получаем решения системы 



Z















m

n

m

x

n

x

x

x

,

,



5

4

5



,

1

2



5

sin


,

1

2



cos

Найдем  такие  целые  значения 



  и  

при  которых  решения  в  полученных  се-

риях  совпадают,  т.е.  приравнивая  выра-

жения для 



 в обеих сериях, получим 

5

4



5

m

n





 или 

m

n

4

1



5



Далее получим 

1

5

4



 n



m

 или 


4

1

4



1

5







n

n

n

m

Для существования целых решений число 



4

1



n

 должно быть целым. Обозначим его 

буквой 

k

, тогда  



k

n



4

1

 или 



1

4 


 k

n

, где 


Z



k

Тогда 


1

5

4



4

20

4



1

5







k



k

n

m



Z



k

.  


Подставляя 

1

4 



 k

n



Z



k

, в первую 

серию  решений  или 

1

5 



 k

m



Z



k

,  во 


вторую, 

получим 


общее 

решение 


),

1

4



(





k

x

 

Z



k



Ответ

),

1

4



(

 k



 

Z



k



Пример  19.  Решить  систему  уравне-

ний





.



1

3

sin



,

1

11



sin

x

x

 

Решение. Найдем решения системы 







.



1

3

sin



,

1

11



sin

x

x

2

,



,

22

11



2

,

.



6

3

n



x

n

m

x

m



 






   




Z

Z

 

Найдем  такие  целые  значения 



  и  

при  которых  решения  в  полученных  се-

риях  совпадают 

2

2



22

11

6



3

n

m





 


т.е. 



3

2 11


n

m

  


. Выражая из последнего 

равенства 



,  получаем 

2

2



3

3

m



n

m



Так как 



 – целое, то последнее равенст-

во  возможно,  только  если  число 

2

2



 

делится  на  3,  т.е. 



k

m

3

2



2





Z



k

.  От-

сюда 


1

2

k



m

k

  


.  Поскольку 

  должно 

быть  целым,  то 



k

  должно  быть  четным. 

Если 

2

k



p



где 

 

то 




2

2



2

1

p



p

m

 

1



3 

 p

.  Следователь-

но,  


2 (3

1)

2



6

3

2



p

x

p



 



 





Z



p



Ответ: 

p



2

2





Z



p



Пример 20. Решить систему







.

0

5



sin

,

0



2

cos


,

0

7



cos

x

x

x

 

Решение. Из системы имеем 







0



5

sin


,

0

2



cos

,

0



7

cos


x

x

x

 

















.

,



5

,

,



2

4

,



,

7

14



Z

Z

Z

m

m

x

k

k

x

n

n

x

 


Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

13 



Выясним, 

какие 


из 

значений 

7

14

n



x





Z



n

,  являются  недопусти-

мыми.  Для  этого  решим  в  целых  числах 

уравнения  

(а

2

4

7



14

k

n





 и (б



5

7

14



m

n





Рассмотрим  уравнение  (а).  После  пре-

образований получим: 

k

n

14

7



4

2



  



5

14

4





k



n

Последнее  равенство  невозможно,  так 



как  в  левой  его  части  получаются  при 

всех  значениях 



  и 

k

  четные  числа,  а  в 

правой – число нечетное. 

Рассмотрим  уравнение  (б).  После  пре-

образований получим: 

m

14

10

5



  



5

10

14





n



m

Последнее  равенство  невозможно,  т.к. 



в левой его части стоят четные числа, а в 

правой – нечетное. 

Значит,  все  значения 

7

14



n

x





Z



n

, являются допустимыми. 

Ответ: 

7

14



n





Z



n



Пример 21. Найти сумму решений си-



стемы 

















,



0

3

2



sin

,

0



4

3

cos



x

x

 

принадлежащих промежутку 

]

80



;

[







Решение. Получаем из системы 

















0



3

2

sin



,

0

4



3

cos


x

x

  












,



3

2

,



2

4

3



k

x

n

x

 

,



,

Z



k



n

  










.



,

3

2



,

,

4



Z

Z

k

k

x

n

n

x

 

На отрезке 



]

80

;



[



 значения 

n

x





4



Z



n

, образуют арифметическую прогрес-

сию с разностью 

4



 и первым членом 

3



Количество членов этой прогрессии можно 

найти из неравенства: 







80

n



Z



n

  

  


25

,

20



5

,

0



 n



Z



n

Таким  образом,  n  может  принимать  все 



натуральные значения от 1 до 20 включи-

тельно.  Значит,  количество  членов  про-

грессии 

20



N

Найдем  сумму 



1

  этих  двадцати  чле-

нов:  








820

20

2



4

19

3



2

1

S

Однако  среди  значений 



n

x





4



Z



n

,  имеются  недопустимые.  Чтобы 

выяснить,  какие  это  значения,  решим  в 

целых числах уравнение: 



k

n







3

2

4



 

 

3



3

4 




n

k

  


3

1

n



n

k



Поскольку k и n – целые числа, то 



t

n

3



где 


Z



t

.  Таким  образом,  недопустимые 

значения  переменной  x  получаются  при 



t

n

3



. Итак, 

t

x





12



Z



t

На 



отрезке 

]

80



;

[



 

значения 



t

x





12



Z



t

,  образуют  арифмети-

ческую  прогрессию  с  разностью 

12



  и 

первым членом 

11

. Очевидно, что коли-



чество  членов  этой  прогрессии 

6



N

Тогда их сумма  









246

6

2



12

5

11



2

2

S

Тогда искомая сумма  





574


2

1

S



S

S



Ответ: 

574




Download 0,96 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish