Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011

Z











n

n

x

;

2

. Так как решения долж-

ны 

удовлетворять 

неравенству 

4

3

2

















n

,  то,  сократив  на 

 ,  по-

лучим 

4

3

2

1

1









n

  или 

4

1

2

3







n

.  С 

учетом  того,  что 

Z



n

,  получаем  два 

значения 

1





n

  и 

0



n

.  Если 

0



n

,  то 

2





x

, если 

1





n

, то 

2







x

. 

2. 

































,

2

6

5

,

2

6

5

,

0

sin

n

x

n

x

x

 

Z



n

.  

Так  как  должно  выполняться  условие 

4

3









x

, то для первой серии имеем  





























4

3

2

6

1

1

4

3

2

6

n

n

 

0

24

7

12

7













n

n

. 

Отсюда получаем 

6





x

. 

Для второй серии имеем  





























4

3

2

6

5

1

4

3

2

6

5

n

n

 

24

1

12

11











n

. 

Последнее  неравенство  не  имеет  цело-

численных решений. 

Ответ: 

;

2





 

;

2



 

6



. 

Пример  17.  Найти  все  решения  сово-

купности  уравнений  









,

0

cos

,

0

5

cos

x

x

  принад-

лежащие отрезку 

]

2

;

1

[

. 

Решение. Найдем решения совокупно-

сти уравнений 











0

cos

0

5

cos

x

x

  





























,

2

,

5

10

n

x

k

x

Z



n

k,

. 

Заметим,  что  первую  серию  решений 

можно  записать  в  виде 

10

)

2

1

(

k

x







,  а 

вторую  – 

2

)

2

1

(

n

x







.  Отсюда  можно 

заметить,  что  решения  второй  серии  со-

держатся  в  первой,  так  как  их  можно  за-

писать в виде  

10

))

2

5

(

2

1

(

10

)

10

5

(

2

)

2

1

(





















n

n

n

x

. 

Поэтому  первая  серия  решений  совокуп-

ности  содержит  все  корни  исходной  со-

вокупности  уравнений.  Можем  записать 

5

10

k

x









, 

Z



k

.  Решим  двойное  не-

равенство 

2

5

10

1











k

    

20

2

10











k

  

  















20

2

10

k

    

  

















2

20

2

10

k

    

  

2

1

10

2

1

5













k

. 

Так как 

16

17

2

1

2

,

3

5

2

1

5











, 







2

1

10

  

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

12 

6

17

2

1

3

10







  и 

Z



k

,  то 

2



k

.  Тогда 

2

5

2

10













x

. 

Ответ: 

2



. 

исследование уравнения 

с двумя целочисленными параметрами 

Пример  18.  Решить  систему  уравне-

ний: 















.

1

2

5

sin

,

1

2

cos

x

x

 

Решение. Получаем решения системы 

Z









































m

n

m

x

n

x

x

x

,

,

5

4

5

,

1

2

5

sin

,

1

2

cos

. 

Найдем  такие  целые  значения 

n   и  m , 

при  которых  решения  в  полученных  се-

риях  совпадают,  т.е.  приравнивая  выра-

жения для 

x  в обеих сериях, получим 

5

4

5

m

n











 или 

m

n

4

1

5





. 

Далее получим 

1

5

4



 n

m

 или 

4

1

4

1

5











n

n

n

m

. 

Для существования целых решений число 

4

1



n

 должно быть целым. Обозначим его 

буквой 

k

, тогда  

k

n





4

1

 или 

1

4 

 k

n

, где 

Z



k

. 

Тогда 

1

5

4

4

20

4

1

5













k

k

n

m

, 

Z



k

.  

Подставляя 

1

4 

 k

n

, 

Z



k

, в первую 

серию  решений  или 

1

5 

 k

m

, 

Z



k

,  во 

вторую, 

получим 

общее 

решение 

),

1

4

(







k

x

 

Z



k

. 

Ответ: 

),

1

4

(



 k

 

Z



k

. 

Пример  19.  Решить  систему  уравне-

ний: 















.

1

3

sin

,

1

11

sin

x

x

 

Решение. Найдем решения системы 

















.

1

3

sin

,

1

11

sin

x

x

2

,

,

22

11

2

,

.

6

3

n

x

n

m

x

m







 















   







Z

Z

 

Найдем  такие  целые  значения 

n   и  m , 

при  которых  решения  в  полученных  се-

риях  совпадают 

2

2

22

11

6

3

n

m













 



, 

т.е. 

3

2 11

n

m

  

. Выражая из последнего 

равенства 

n ,  получаем 

2

2

3

3

m

n

m







. 

Так как 

n  – целое, то последнее равенст-

во  возможно,  только  если  число 

2

2

m 

 

делится  на  3,  т.е. 

k

m

3

2

2





, 

Z



k

.  От-

сюда 

1

2

k

m

k

  

.  Поскольку 

m   должно 

быть  целым,  то 

k

  должно  быть  четным. 

Если 

2

k

p



, 

где 

p  Z , 

то 









2

2

2

1

p

p

m

 

1

3 

 p

.  Следователь-

но,  

2 (3

1)

2

6

3

2

p

x

p









 





 

, 

Z



p

. 

Ответ: 

p







2

2

, 

Z



p

. 

Пример 20. Решить систему: 

















.

0

5

sin

,

0

2

cos

,

0

7

cos

x

x

x

 

Решение. Из системы имеем 

















0

5

sin

,

0

2

cos

,

0

7

cos

x

x

x

 















































.

,

5

,

,

2

4

,

,

7

14

Z

Z

Z

m

m

x

k

k

x

n

n

x

 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

13 

Выясним, 

какие 

из 

значений 

7

14

n

x









, 

Z



n

,  являются  недопусти-

мыми.  Для  этого  решим  в  целых  числах 

уравнения  

(а) 

2

4

7

14

k

n















 и (б) 

5

7

14

m

n











. 

Рассмотрим  уравнение  (а).  После  пре-

образований получим: 

k

n

14

7

4

2







  

5

14

4





k

n

. 

Последнее  равенство  невозможно,  так 

как  в  левой  его  части  получаются  при 

всех  значениях 

n   и 

k

  четные  числа,  а  в 

правой – число нечетное. 

Рассмотрим  уравнение  (б).  После  пре-

образований получим: 

m

n 14

10

5





  

5

10

14





n

m

. 

Последнее  равенство  невозможно,  т.к. 

в левой его части стоят четные числа, а в 

правой – нечетное. 

Значит,  все  значения 

7

14

n

x









, 

Z



n

, являются допустимыми. 

Ответ: 

7

14

n







, 

Z



n

. 

Пример 21. Найти сумму решений си-

стемы 



















































,

0

3

2

sin

,

0

4

3

cos

x

x

 

принадлежащих промежутку 

]

80

;

[





. 

Решение. Получаем из системы 



















































0

3

2

sin

,

0

4

3

cos

x

x

  



































,

3

2

,

2

4

3

k

x

n

x

 

,

,

Z



k

n

  





























.

,

3

2

,

,

4

Z

Z

k

k

x

n

n

x

 

На отрезке 

]

80

;

[





 значения 

n

x











4

, 

Z



n

, образуют арифметическую прогрес-

сию с разностью 



4

 и первым членом 



3

. 

Количество членов этой прогрессии можно 

найти из неравенства: 

















80

4 n

, 

Z



n

  

  

25

,

20

5

,

0



 n

, 

Z



n

. 

Таким  образом,  n  может  принимать  все 

натуральные значения от 1 до 20 включи-

тельно.  Значит,  количество  членов  про-

грессии 

20



N

. 

Найдем  сумму 

1

S   этих  двадцати  чле-

нов:  



















820

20

2

4

19

3

2

1

S

. 

Однако  среди  значений 

n

x











4

, 

Z



n

,  имеются  недопустимые.  Чтобы 

выяснить,  какие  это  значения,  решим  в 

целых числах уравнение: 

k

n

















3

2

4

 

 

3

3

4 



n

k

  

3

1

n

n

k







. 

Поскольку k и n – целые числа, то 

t

n

3



, 

где 

Z



t

.  Таким  образом,  недопустимые 

значения  переменной  x  получаются  при 

t

n

3



. Итак, 

t

x











12

, 

Z



t

. 

На 

отрезке 

]

80

;

[





 

значения 

t

x











12

, 

Z



t

,  образуют  арифмети-

ческую  прогрессию  с  разностью 



12

  и 

первым членом 



11

. Очевидно, что коли-

чество  членов  этой  прогрессии 

6



N

. 

Тогда их сумма  



















246

6

2

12

5

11

2

2

S

. 

Тогда искомая сумма  









574

2

1

S

S

S

. 

Ответ: 



574

.