Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011

1.3. Геометрический способ 

В последние годы в учебниках исполь-

зуются  разные  модели  к  иллюстрации 

решения  простейших  тригонометриче-

ских уравнений или неравенств: с приме-

нением  тригонометрического  круга  или 

графика простейшей тригонометрической 

функции.  В  первом  случае  изображение 

решений  связано  с  числовой  окружно-

стью, во втором – с числовой прямой. 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

14 

отбор корней тригонометрического 

уравнения на числовой окружности 

Тригонометрическую 

окружность 

удобно использовать при отборе корней на 

промежутке, длина которого не превосхо-

дит 



2

,  или  в  случае,  когда  значения  об-

ратных 

тригонометрических 

функций, 

входящих  в  серию  решений,  не  являются 

табличными. 

Пример  22.  Найти  решения  совокуп-

ности уравнений:  









.

0

5

cos

,

0

cos

x

x

. 

Решение.  Из  совокупности  уравнений 

имеем 











,

0

5

cos

,

0

cos

x

x































,

5

10

,

2

n

x

k

x

Z



n

k,

. 

Отметим,  что  функции 

x

cos   и 

x

5

cos

, 

входящие  в  совокупность  уравнений, 

имеют  общий  наименьший  положитель-

ный  период 



2

.  Поэтому  отбор  корней 

удобно  проводить 

на  числовой  ок-

ружности, 

при 

этом 

используя 

градусную 

меру 

полученных 

ре-

шений  











180

90

k

x

 

или  











36

18

n

x

. 

Из рисунка 11 видим, что вторая серия 

решений включает в себя первую серию. 

Ответ: 

5

10

n







, 

Z



n

. 

Пример  23.  Определить  количество 

решений  системы 











0

3

sin

,

1

12

cos

x

x

на  про-

межутке 

]

2

;

0

[

 . 

Решение. Из условия имеем 











,

0

3

sin

,

1

12

cos

x

x

    























,

3

,

6

k

x

n

x

 

Z



k

n,

. 

Функции 

x

12

cos

  и 

x

3

sin

,  входящие  в 

систему, имеют основной период, не пре-

восходящий 



2

, поэтому проведем отбор 

корней  уравнения  системы,  используя 

тригонометрическую  окружность.  Для 

этого  полученные 

значения  в  серии 

решений  и  серии 

ограничений  изо-

бразим  на  триго-

нометрической  ок-

ружности  (см.  рис. 

12)  и  в  ответ  запи-

шем  количество  не 

совпавших  в обеих 

сериях 

значений 

переменной х. 

Ответ: 6. 

Пример  24.  Найти  все  решения  сово-

купности уравнений 



















,

2

3

sin

,

2

1

sin

x

x

 

удовлетворяющие неравенству 

0

cos 

x

. 

Решение. Получаем 



















2

3

sin

,

2

1

sin

x

x

    





















































































,

2

3

2

,

2

3

,

2

6

5

,

2

6

k

x

k

x

n

x

n

x

 

Z



k

n,

. 

Изобразим  полученные  решения  на 

тригонометрической 

окружности 

(см. 

рис. 13).  

Каждому  урав-

нению 

соответст-

вуют  две  точки  на 

тригонометриче-

ской  окружности. 

В  ответ  запишем 

только 

решения, 

расположенные  на 

дуге 

окружности, 

соответствующей 

O





















 

Рис. 11 

O











































 

Рис. 12 

O

























 

Рис. 13 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

15 

неравенству 

0

cos 

x

,  т.е.  лежащие  в  I  и 

IV четвертях. 

Следовательно, данному  условию  удо-

влетворяют 

решения 

k







2

3

 

или 

n









2

6

, 

Z



k

n,

. 

Ответ: 

n







2

3

; 

n









2

6

, 

Z



n

. 

В  случае  маленьких  значений  корней 

можно воспользоваться  приемом  «укруп-

нения» этих значений. 

Пример  25.  Решить  совокупность 

уравнений: 

















































.

0

4

4

cos

,

0

4

8

sin

x

x

 

Решение.  Основной  период  функции 

















4

8

sin

x

  равен 

4



, 

















4

4

cos

x

  равен 

2



.  Так  как  общий  период  этих  функций 

равен 

2



, то при умножении на 4, период 

станет 



2

. 

Из условия имеем 



















































0

4

4

cos

,

0

4

8

sin

x

x





























,

4

8

3

,

8

32

n

x

k

x

Z



n

k,

,   































,

2

3

4

,

2

8

4

n

x

k

x

 

Z



n

k,

. 

Отметим  на окруж-

ности  полученные 

значения. 

Легко 

увидеть,  что  эти 

значения  не  совпа-

дают (см. рис. 14). 

Ответ

: 

8

32

n







, 

4

8

3

n







, 

Z



n

. 

отбор корней тригонометрического 

уравнения на числовой прямой 

Тригонометрическую 

окружность 

удобно  использовать  для  изображения 

точек вида 

Z









n

n,

, где 



 :

2

 – на-

туральное  число.  Например,  множеству 

чисел 

,

3

4

n







 

Z



n

.  на  окружности  со-

ответствуют 

6

3

:

2







  точек.  С  другой 

стороны,  числа  вида  

Z





n

n,

3

4

1

  целе-

сообразнее  отмечать  на  координатной 

прямой, так как число 



2

 не соизмеримо 

с числом 3, и на окружности будет беско-

нечное  множество  точек.  Еще  одна  при-

чина  выбора  числовой  прямой  связана  с 

периодами  функций  превосходящих 



2

. 

Например,  числа 

,

4

4

n







 

Z



n

,  будут 

изображаться  точкой 

4



P ,  но  число,  на-

пример, 







2

4

, которому также соответ-

ствует  точка 

4



P ,  не  входит  в  рассматри-

ваемое множество чисел. 

Пример 26. Решить систему: 



















.

0

3

sin

,

0

2

cos

x

x

 

Решение. Из условия получаем 

Z









































n

k

n

x

k

x

x

x

,

,

3

,

2

0

3

sin

,

0

2

cos

. 

Основной  период  функций,  входящих  в 

систему: 

















4

2

cos

x

T

, 

















6

3

sin

x

T

. 

Общий  наименьший  положительный  пе-

риод функций равен 



12

.  

На  числовой  прямой  (см.  рис.  15)  рас-

смотрим  промежуток 

]

11

;

(







.  Отметим 

черными  точками  числа 



 ,   , 



3

, 



5

, 



7

, 



9

, 



11

,  соответствующие  формуле 

O

























 

Рис. 14 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

16 

,

2 k

x









 

Z



k

.  Крестиками  отметим 

точки  0, 



3

, 



6

, 



9

,  соответствующие 

формуле 

.

,

3

Z







n

n

x

  Числа,  не  отме-

ченные крестиками, лучше разбить на два 

множества  с  разностью 



6

  и  записать 

общий ответ. 

Ответ: 

.

6

5

,

6

Z















n

n

 

Замечание.  Исходя  из  формул  систе-

мы 



















,

3

,

2

n

x

k

x

 

Z



n

k,

, достаточно бы-

ло  рассмотреть  на  числовой  прямой  про-

межуток 

]

5

;

(







.  

Пример  27.  Определить  количество 

решений системы  

























2

1

cos

,

2

3

sin

x

x

 

на промежутке 

]

5

;

3

[

. 

Решение. Из условия имеем   











































































,

,

,

2

3

2

,

2

3

2

,

2

3

1

2

1

cos

,

2

3

sin

Z

n

k

n

x

k

x

k

x

x

x



























,

2

3

2

,

2

3

1

n

x

k

x

Z



n

k,

. 

Полученные  значения  в  серии  реше-

ний  и  серии  ограничений  изобразим  на 

координатной  прямой  в  промежутке 

]

5

;

3

[

  и  в  ответ  запишем  количество  не 

совпавших  в  обеих  сериях  значений  пе-

ременной 

x  (см. рис. 16). 

Ответ: 4. 

1.4. Функционально-графический  

способ 

При изображении решений простейших 

тригонометрических  неравенств  иногда 

используют  графики  простейших  триго-

нометрических функций. Для нахождения 

решения  тригонометрического  неравенст-

ва  при  этом  подходе  требуется  схематич-

ное  построение  графика  простейшей  три-

гонометрической  функции  и  применение 

формул  корней  соответствующих  уравне-

ний. 

Пример 28. Решить неравенства:  

а) 

2

1

sin



x

; 

б) 

2

1

sin



x

. 

Решение.  Схематично  изобразим  гра-

фики функций 

x

y

sin



 и 

2

1



y

 (см. рис. 

17).  Для  уравнения 

2

1

sin



x

  запишем 

общее решение 

,

6

)

1

(

n

x

n











 

Z



n

.  

Найдем  три  корня  этого  уравнения, 

последовательно придавая переменной 

n  

значения –1, 0 и 1: 

,

6

7



6



 и 

6

5

. Полу-

ченные  значения  являются  абсциссами 

трех  последовательных  точек  пересече-

ния  построенных  графиков.  Неравенство 

2

1

sin



x

  выполняется  на  промежутке 



















6

;

6

7

  –  график  функции 

x

y

sin



 

расположен  ниже  прямой 

2

1



y

,  а  нера-



x





 





















 

Рис. 15 





















x

 

Рис. 16 

y

x























sinx <









y=

0,5

 

Рис. 17 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

17 

венство 

2

1

sin



x

  выполняется  на  проме-

жутке 

















6

5

;

6

 

– 

график 

функции 

x

y

sin



 

расположен 

выше 

прямой 

2

1



y

. 

Добавляя  слагаемое  (период  синуса)  к 

концам  этих  интервалов,  получаем  окон-

чательное решение:  

для неравенства 

2

1

sin



x

 в виде 

;

,

2

6

2

6

7