Z
k
k
Пример 42. Решить уравнение
0
3
3
cos
9
3
sin
2
2
x
x
.
Решение. Воспользовавшись основ-
ным тригонометрическим тождеством,
перепишем уравнение в виде
0
3
3
cos
9
3
cos
1
2
2
x
x
,
или
0
5
3
cos
9
3
cos
2
2
x
x
.
Заменой
t
x
3
cos
уравнение сводится
к квадратному
0
5
9
2
2
t
t
, которое
имеет два корня:
1
1
2
t
и
2
5
t . Воз-
вращаясь к переменной
x , получим:
2
1
3
cos
x
и
5
3
cos
x
.
Уравнение
2
1
3
cos
x
имеет корни
n
x
6
;
уравнение
5
3
cos
x
корней не имеет.
Ответ:
n
6
,
n Z .
Зам ечание. Вводя новую перемен-
ную
3
cos
x
t
, можно было сразу учесть,
что значения косинуса ограничены отрез-
ком
]
1
;
1
[
, и, значит, интерес представ-
ляют
только
те
корни
уравнения
0
5
9
2
2
t
t
, которые удовлетворяют
условию
1
t
. Накладывать при замене
ограничения на новую переменную не
обязательно, но во многих случаях – по-
лезно, поскольку это иногда упрощает
решение.
Пример 43. Найти все корни уравне-
ния
0
2
ctg
3
tg
x
x
, удовлетворяю-
щие условию
0
2
sin
x
.
Решение.
Если
записать
условие
0
2
sin
x
в виде
0
cos
sin
2
x
x
, то ста-
новится очевидным, что оно выполняется
в том и только в том случае, когда
x
sin
и
x
cos имеют разные знаки, что в свою
очередь равносильно условию
0
tg
x
.
Введением новой переменной
t
x
tg
сведем исходную задачу к решению сме-
шанной системы:
0
2
1
3
t
t
,
0
t
,
или
0
3
2
2
t
t
,
0
t
.
Уравнение
0
3
2
2
t
t
имеет два
корня
3
t
,
1
t
, из которых только
первый удовлетворяет условию
0
t
.
Возвратившись к исходной переменной,
получим уравнение
3
tg
x
. Следова-
тельно,
n
x
3
arctg
,
n Z .
Ответ:
n
3
arctg
,
n Z .
решение уравнений, однородных отно-
сительно синуса и косинуса
Однородными относительно
x
sin
и
x
cos называют уравнения вида,
...
cos
sin
sin
1
1
x
x
a
x
a
n
n
n
n
0
cos
cos
sin
...
0
1
1
x
a
x
x
a
n
n
,
в которых сумма показателей степеней у
x
sin
и
x
cos (степень уравнения) во всех
членах уравнения одинакова. Например,
0
cos
sin
x
b
x
a
– однородное урав-
нение первой сте-
пени,
0
cos
cos
sin
sin
2
2
x
b
x
x
c
x
a
– од-
нородное
уравне-
ние второй степе-
ни,
x
x
d
x
x
c
x
a
2
2
3
cos
sin
cos
sin
sin
0
cos
3
x
b
– однородное уравнение
третьей степени.
Делением обеих частей уравнения на
x
k
cos
или
x
k
sin
, где
k
– степень урав-
нения, однородные уравнения сводятся к
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
24
алгебраическим относительно
x
t
tg
или
x
t
ctg
.
Однако следует иметь в виду, что де-
ление может привести к потере корней.
Чтобы избежать этого, сначала требуется
установить не являются ли корнями
уравнения числа вида
2
x
n
,
n Z ,
при делении на
x
k
cos
, и, соответственно,
числа вида
n
x
,
n Z , при делении
на
x
k
sin
. Далее после делим на
x
k
cos
или
x
k
sin
ищем другие решение уравне-
ния, отличные от указанных.
В частности, уравнения вида
d
x
b
x
x
c
x
a
2
2
cos
cos
sin
sin
приводятся к однородным путем пред-
ставления правой части в виде:
)
cos
(sin
2
2
x
x
d
d
.
Пример 44. Решить уравнение
4
2
sin
5
cos
10
2
x
x
.
Решение. Преобразуем обе части
уравнения, воспользовавшись тождест-
вами:
x
x
x
cos
sin
2
2
sin
,
1
cos
sin
2
2
x
x
. Последовательно име-
ем:
4
2
sin
5
cos
10
2
x
x
;
)
cos
(sin
4
cos
sin
2
5
cos
10
2
2
2
x
x
x
x
x
;
0
cos
3
cos
sin
5
sin
2
2
2
x
x
x
x
.
Заметим, что среди значений x, для ко-
торых
0
cos
x
, корней уравнения нет,
поскольку, если
0
cos
x
, то из уравне-
ния следует, что и
0
sin
x
, а одновре-
менно эти два равенства выполняться не
могут. Значит, можно разделить обе час-
ти уравнения на
x
2
cos
, не опасаясь по-
тери корней. После деления получим
уравнение
0
3
tg
5
tg
2
2
x
x
.
Решив его как квадратное относитель-
но
x
tg , найдем:
5
,
0
tg
x
,
3
tg
x
, от-
куда
n
x
5
,
0
arctg
,
n
x
3
arctg
.
Ответ:
n
5
,
0
arctg
,
arctg 3
,
n n
Z .
симметрические уравнения
Рассмотрим
тригонометрические
уравнения
( )
0
f x , левая часть которых
представляет собой рациональное выра-
жение от переменных
sin
cos
t
x
x
(или
sin
cos
t
x
x
) и
sin cos
v
x
x
. Посколь-
ку
2
2
sin
cos
1 2sin cos
1 2
t
x
x
x
x
v
,
то
2
1
2
t
v
, если
sin
cos
t
x
x
, и
2
1
2
t
v
, если
sin
cos
t
x
x
. Следова-
тельно, исходное уравнение сводится к
алгебраическому относительно перемен-
ной
t .
Так
как
sin
cos
2 sin
4
x
x
x
,
то
поиск
корней алгебраического уравнения мож-
но ограничить промежутком
2
t
.
Пример 45. Решить уравнение
0
cos
sin
2
cos
sin
2
1
x
x
x
x
.
Решение. Введем новую переменную
t
x
x
cos
sin
,
2
t
. С учетом равен-
ства
2
1
cos
sin
2
t
x
x
перепишем урав-
нение в виде
0
2
2
1
2
1
2
t
t
, или
0
2
t
t
. Последнее уравнение имеет
два корня
0
1
t
и
2
2
t
, из которых
только первый удовлетворяет условию
2
t
.
Вернемся к переменной
x . Полу-
чим
0
cos
sin
x
x
,
или
0
4
sin
2
x
, откуда
n
x
4
.
Ответ:
,
4
n n
Z
.
Пример 46. Решить уравнение
1
cos
sin
cos
sin
3
3
x
x
x
x
.
Решение. Воспользовавшись форму-
лой разности кубов
)
cos
(sin
cos
sin
3
3
x
x
x
x
)
cos
cos
sin
(sin
2
2
x
x
x
x
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
25
перепишем уравнение в виде
1
cos
sin
)
cos
sin
1
)(
cos
(sin
x
x
x
x
x
x
.
Положим
t
x
x
cos
sin
,
2
t
. То-
гда
2
2
sin
cos
1 2sin cos
t
x
x
x
x
, и,
значит,
2
1
cos
sin
2
t
x
x
. Таким образом,
после замены получим уравнение
0
1
2
1
2
1
1
2
2
t
t
t
,
которое преобразуется к виду
2
1
1
(
1)
0
2
t
t
, или
2
3
(
1)
0
t
t
.
Отсюда
1,2
3
t
,
3
1
t .
Условию
2
t
удовлетворяет только одно из
найденных значений:
1
t
.
Возвратимся к исходной переменной.
Получим
1
cos
sin
x
x
,
или
1
4
sin
2
x
,
2
2
4
sin
x
, отку-
да
2
4
4
x
n
или
2
4
4
x
n
. Таким образом, ис-
ходное уравнение имеет две серии реше-
ний:
2
2
x
n
и
2
x
n
.
Ответ:
n
2
2
,
2
,
n n
Z .
Уравнения
( )
0
f x , левая часть кото-
рых может быть представлена как много-
член от
x
x
ctg
tg
, сводятся к алгебраи-
ческим заменой
t
x
x
ctg
tg
.
Пример 47. Решить уравнение
0
4
ctg
tg
3
ctg
tg
2
2
x
x
x
x
.
Решение. Положим
t
x
x
ctg
tg
. За-
метим, что
1
2
tg
ctg
sin cos
sin 2
x
x
x
x
x
и, следовательно,
2
t
. Поскольку
x
x
2
2
ctg
tg
2
ctg
tg
2
)
ctg
(tg
2
2
t
x
x
x
x
,
то после замены получим уравнение
0
4
3
2
2
t
t
, или
0
2
3
2
t
t
.
Последнее уравнение имеет два корня
1
t
и
2
t
, из которых только второй
удовлетворяет условию
2
t
. Если
2
t
, то
2
ctg
tg
x
x
, или
1
2
sin
x
,
откуда
n
x
4
,
Do'stlaringiz bilan baham: |