Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011



Download 0,96 Mb.
Pdf ko'rish
bet8/19
Sana11.03.2020
Hajmi0,96 Mb.
#42090
TuriРеферат
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   19
Bog'liq
C12012


Z



k

k

 

Пример 42. Решить уравнение  

0

3



3

cos


9

3

sin



2

2





x



x



Решение.  Воспользовавшись  основ-

ным  тригонометрическим  тождеством, 

перепишем уравнение в виде  

0

3

3



cos

9

3



cos

1

2



2









x



x

или  



0

5

3



cos

9

3



cos

2

2





x

x

Заменой 



t

x

3



cos

  уравнение  сводится 

к  квадратному 

0

5



9

2

2



 t



t

,  которое 

имеет  два  корня: 

1

1



2

  и 


2

5

  .  Воз-

вращаясь  к  переменной 

,  получим: 

2

1



3

cos




x

 

и 



5

3

cos





x

Уравнение 



2

1

3



cos



x

  имеет  корни 

n

x





6

уравнение 



5

3

cos





x

 корней не имеет. 



Ответ:  

n



6





 

Зам ечание.   Вводя  новую  перемен-

ную 


3

cos


x

,  можно  было  сразу  учесть, 

что значения косинуса ограничены отрез-

ком 


]

1

;



1

[

,  и,  значит,  интерес  представ-



ляют 

только 


те 

корни 


уравнения 

0

5



9

2

2



 t



t

,  которые  удовлетворяют 

условию 

1



t

.  Накладывать  при замене 

ограничения  на  новую  переменную  не 

обязательно,  но  во  многих  случаях  –  по-

лезно,  поскольку  это  иногда  упрощает 

решение. 



Пример  43.  Найти  все  корни  уравне-

ния 

0

2



ctg

3

tg





x

x

,  удовлетворяю-



щие условию 

0

2



sin



x





Решение

Если 


записать 

условие 


0

2

sin





x

  в  виде 

0

cos


sin

2





x

x

,  то  ста-

новится очевидным, что оно выполняется 

в том и только в том случае, когда 



x

sin


 и  

x

cos   имеют  разные  знаки,  что  в  свою 

очередь равносильно условию 

0

tg 



x

.  


Введением  новой  переменной 

t

tg

 



сведем исходную задачу  к решению сме-

шанной системы:  

0

2

1



3





t



t

0





t

или  



0

3

2



2



 t

t

0





t

Уравнение 



0

3

2



2



 t

t

  имеет  два 

корня 

3





t

1





t

,  из  которых  только 

первый  удовлетворяет  условию 

0



t

Возвратившись  к  исходной  переменной, 



получим  уравнение 

3

tg





x

.  Следова-

тельно, 


n

x



3



arctg



 



Ответ

n



3

arctg




 

решение уравнений, однородных отно-

сительно синуса и косинуса 

Однородными  относительно 



x

sin


  и 

x

cos  называют уравнения вида, 

...

cos


sin

sin


1

1





x

x

a

x

a

n

n

n

n

  

0



cos

cos


sin

...


0

1

1







x

a

x

x

a

n

n

в  которых  сумма  показателей  степеней  у 



x

sin


 и 

x

cos  (степень уравнения) во всех 

членах уравнения одинакова. Например,  

0

cos



sin



x

b

x

a

  –  однородное  урав-

нение  первой  сте-

пени, 


0

cos


cos

sin


sin

2

2





x

b

x

x

c

x

a

  –  од-


нородное 

уравне-


ние  второй  степе-

ни, 




x

x

d

x

x

c

x

a

2

2



3

cos


sin

cos


sin

sin


  

0

cos



3



x

b

  –  однородное  уравнение 

третьей степени. 

Делением  обеих  частей  уравнения  на 



x

k

cos


  или 

x

k

sin


,  где 

k

  –  степень  урав-

нения, однородные  уравнения  сводятся  к 


Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

24 



алгебраическим  относительно 

x

t

tg



 

или 


x

t

ctg


Однако  следует  иметь  в  виду,  что  де-



ление  может  привести  к  потере  корней. 

Чтобы избежать этого, сначала требуется 

установить  не  являются  ли  корнями 

уравнения числа вида 

2

x

n



 



 

при делении на 

x

k

cos


, и, соответственно, 

числа  вида 



n

x





 ,  при  делении 

на 


x

k

sin


.  Далее  после  делим  на 

x

k

cos


 

или 


x

k

sin


 ищем другие решение уравне-

ния, отличные от указанных. 

В частности, уравнения вида  

d

x

b

x

x

c

x

a



2

2



cos

cos


sin

sin


 

приводятся  к  однородным  путем  пред-

ставления правой части в виде:  

)

cos



(sin

2

2



x

x

d

d





Пример 44. Решить уравнение  

4

2

sin



5

cos


10

2





x

x



Решение.  Преобразуем  обе  части 

уравнения,  воспользовавшись  тождест-

вами: 


x

x

x

cos


sin

2

2



sin



1

cos


sin

2

2





x



x

.  Последовательно  име-

ем: 

4

2



sin

5

cos



10

2





x

x

)



cos

(sin


4

cos


sin

2

5



cos

10

2



2

2

x



x

x

x

x





0

cos


3

cos


sin

5

sin



2

2

2





x

x

x

x

Заметим, что среди значений x, для ко-



торых 

0

cos 



x

,  корней  уравнения  нет, 

поскольку,  если 

0

cos 



x

,  то  из  уравне-

ния  следует,  что  и 

0

sin





x

,  а  одновре-

менно  эти  два  равенства  выполняться  не 

могут.  Значит,  можно  разделить  обе  час-

ти  уравнения  на 

x

2

cos



,  не  опасаясь  по-

тери  корней.  После  деления  получим 

уравнение  

0

3



tg

5

tg



2

2





x



x

Решив  его  как  квадратное относитель-



но 

x

tg ,  найдем: 

5

,

0



tg



x

3

tg





x

,  от-

куда 


n

x



5

,



0

arctg




n

x



3



arctg



Ответ



n



5

,

0



arctg

arctg 3



,

n n

 



 

симметрические уравнения 

Рассмотрим 

тригонометрические 

уравнения 

( )

0

f x  ,  левая  часть  которых 



представляет  собой  рациональное  выра-

жение от переменных 

sin

cos


t

x

x



 (или 

sin


cos

t

x

x



)  и 

sin cos


v

x

x

.  Посколь-



ку  



2

2

sin



cos

1 2sin cos

1 2

t

x

x

x

x

v



 

 


то 


2

1

2



t

v



,  если 

sin


cos

t

x

x



,  и 

2

1



2

t

v



,  если 

sin


cos

t

x

x



.  Следова-

тельно,  исходное  уравнение  сводится  к 

алгебраическому  относительно  перемен-

ной 


Так 


как 

sin


cos

2 sin


4

x

x

x









то 

поиск 


корней  алгебраического  уравнения  мож-

но ограничить промежутком 

2



t





Пример 45. Решить уравнение  



0

cos


sin

2

cos



sin

2

1







x

x

x

x



Решение.  Введем  новую  переменную 



t

x

x

 cos



sin

2





t

. С учетом равен-

ства 

2

1



cos

sin


2



t

x

x

  перепишем  урав-

нение  в  виде 

0

2



2

1

2



1

2







t

t

,  или 


0



2 



t



t

.  Последнее  уравнение  имеет 

два  корня   

0

1





t

  и 


2

2





t

,  из  которых 

только  первый  удовлетворяет  условию 

2



t

.  


Вернемся  к  переменной 

.  Полу-

чим 


0

cos


sin



x

x

или 



0

4

sin



2









x

, откуда 



n

x





4



Ответ

,

4

n n



 



 Z



Пример 46. Решить уравнение  

1

cos


sin

cos


sin

3

3





x

x

x

x



Решение.  Воспользовавшись  форму-

лой разности кубов  



)



cos

(sin


cos

sin


3

3

x



x

x

x

  

)



cos

cos


sin

(sin


2

2

x



x

x

x



 


Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

25 



перепишем уравнение в виде  

1

cos



sin

)

cos



sin

1

)(



cos

(sin






x

x

x

x

x

x

Положим 



t

x

x

 cos



sin

2





t

. То-


гда 



2

2

sin



cos

1 2sin cos



t

x

x

x

x



 

,  и, 


значит, 

2

1



cos

sin


2

t

x

x



. Таким образом, 

после замены получим уравнение  

0

1

2



1

2

1



1

2

2

















t

t

t

которое преобразуется к виду  



2

1

1



(

1)

0



2

t

t









, или 


2



3

(

1)



0

t

t



 . 

Отсюда 


1,2

3

t

 



3



1

 . 

Условию 


2



t

  удовлетворяет  только  одно  из 

найденных значений: 

1



t



.  

Возвратимся  к  исходной  переменной. 

Получим 

1

cos



sin



x

x

или 



1

4

sin



2









x

2



2

4

sin









x

,  отку-


да 

2

4



4

x

n



 



 

или 


2

4

4



x

n



  


 

.  Таким  образом,  ис-

ходное  уравнение  имеет  две  серии  реше-

ний: 


2

2

x



n



 

 и 


2

x

n

   




Ответ

n



2

2



2

,



n n

  


 

Уравнения 

( )

0

f x  ,  левая  часть  кото-



рых может быть представлена как много-

член  от 



x

x

ctg


tg 

,  сводятся  к  алгебраи-

ческим заменой 

t

x

x

 ctg



tg

.  


Пример 47. Решить уравнение  



0

4

ctg



tg

3

ctg



tg

2

2







x



x

x

x



Решение.  Положим 



t

x

x

 ctg



tg

.  За-


метим, что  

1

2



tg

ctg


sin cos

sin 2


x

x

x

x

x



 

и, следовательно, 



2



t

. Поскольку  



x

x

2

2



ctg

tg

2



ctg

tg

2



)

ctg


(tg

2

2







t

x

x

x

x

то после замены получим уравнение  



0



4

3

2



2





t



t

, или 


0

2

3



2



 t

t

Последнее  уравнение  имеет  два  корня 



1



t

  и 

2



t

,  из  которых  только  второй 

удовлетворяет  условию 

2



t

.  Если 


2



t

,  то 

2

ctg



tg



x

x

,  или 


1

2

sin





x

откуда 



n

x



4





Download 0,96 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   19




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish