Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011



Download 0,96 Mb.
Pdf ko'rish
bet7/19
Sana11.03.2020
Hajmi0,96 Mb.
#42090
TuriРеферат
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   19
Bog'liq
C12012


20. 

Найдите 


корни 

уравнения 

,

2

1



3

2

5



4

sin










x

 

принадлежащие 



промежутку  

)

12



;

8

[





Линейные уравнения вида  

c

x

b

x

a

 sin



cos

 

Если 


0

,

0





b



a

  или 


0

,

0





b



a

,  то 


линейное  уравнение 

c

x

b

x

a

 sin



cos

 

приводится  к  простейшему  уравнению 



b

c

sin


 или 

a

c

cos


.  

Если 


  и 

b

  отличны  от  нуля,  то  дан-

ное  линейное  уравнение  преобразуется  к 

простейшему методом введения вспомо-



гательного  угла.  Рассмотрим  этот  метод 

на примерах.  



Пример 35. Решить уравнение  

2

cos



sin

3





x

x



Решение.  Данное  уравнение  равно-

сильно следующим: 

1

cos



2

1

sin



2

3





x

x

1



cos

6

sin



sin

6

cos







x

x

1



6

sin








x

Отсюда  получаем 



n

x





2

2



6

  или 


n

x



2



3

2

, где 



Z



m



Ответ

n



2

3



2



Z



m



Пример 36. Решить уравнение  

2

sin


4

cos


3



x

x



Решение.  Данное  уравнение  равно-

сильно следующим: 

2

sin



5

4

cos



5

3

4



3

5

2



2











x

x





;



5

2

sin



5

4

cos



5

3





x

x

.  


Последнее  уравнение  представим  в 

виде  


5

2

sin



sin

cos


cos







x

x

где 



5

3

arccos



. Отсюда получаем 



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

21 



5



2

cos




x

Его решения имеют вид  



n

x





2

5



2

arccos




Z



n

Подставляя 



5

3

arccos



, имеем 



n

x





2

5

3



arccos

5

2



arccos



Z



n



Ответ



n



2



5

3

arccos



5

2

arccos





Z



n

Уравнение  вида 



c

x

b

x

a

 sin



cos

,  в 


случае, когда 

0



c

, а коэффициенты 



 и 

b

  отличны  от  нуля,  сводится  к  простей-

шему делением на 

x

cos  или 



x

sin




Пример 37. Решить уравнение  

0

cos



5

sin




x



x



Решение.  Среди  значений 



,  для  ко-

торых 


0

cos 


x

,  корней  уравнения  нет 

(если 

0

cos 



x

,  то  из  уравнения  следует, 

что  и 

0

sin





x

,  а  одновременно  эти  два 

равенства выполняться не могут). Значит, 

деление обеих частей уравнения на 



x

cos  


не  приведет  к  потере  корней.  Разделив, 

получим уравнение  

0

5

tg





x

откуда 


n

x



5

arctg





Z



n

  

Ответ

n



5

arctg




Z



n



Пример 38. Решить уравнение 

1

3



cos

15

3



sin

8





x

x



Решение.  Разделим  обе  части  уравне-

ния на 

17

15



8

2

2



. Уравнение примет 



вид  

17

1



3

cos


17

15

3



sin

17

8





x



x

    


17

1

sin



3

cos


cos

3

sin







x

x

    


,

17

1



)

3

sin(





x

 

где 



,

17

8



cos



 

.

17



15

sin




 Тогда имеем  

;

17



1

arcsin


)

1

(



n

x

n





  

.



,

17

1



arcsin

)

1



(

Z







n

n

x

n

 

Так как 



,

0

17



8

cos




 

,

0



17

15

sin





 

то угол  



 лежит в четвертой четверти и 

поэтому 

.

17



15

arcsin


17

15

arcsin









 



Ответ: 

,

17



1

arcsin


)

1

(



17

15

arcsin



n

n



 



.

Z



n

 

Тренировочные упражнения 

Решите уравнения: 



21. 

3

cos



2

sin


2



x

x



22. 

2

cos


sin

3





x

x

. 



23. Дано уравнение  

0

4



cos

4

sin



3



x

x



а) Решите уравнение. 



б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 








2

;

2



.  

24. 

Найдите 


корни 

уравнения 



x

x

3

cos



3

sin


,  принадлежащие  отрезку  

]

4

;



0

[



25. 

Найдите 


корни 

уравнения 



x

x

2

cos



3

2

sin



,  принадлежащие  отрез-

ку  

]

6



;

1

[





26. 

Найдите 


корни 

уравнения 



x

x

2

cos



2

sin


3

,  принадлежащие  отрез-



ку  

]

4



;

1

[





27. 

Найдите 


корни 

уравнения 

1

cos


sin

3





x

x

 на отрезке  

]

3

;



3

[





28. 

Найдите 


корни 

уравнения 

1

cos


3

sin




x



x

 на отрезке  

]

4

;



2

[





2.2. Тригонометрические уравнения,  

сводящиеся к алгебраическим  

уравнениям с помощью замены 

В  тех  случаях,  когда  исходное  урав-

нение  может  быть  приведено  к  виду 

0

))



(

(



x

g

f

,  то  заменой 



t

x

g

)



(

  уравне-

ние  сводится  к  решению  уравнения 

0

)



(



t



f

. Далее для каждого полученного 

корня 

k

  необходимо  решить  уравнение 

 


k

g x

t



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

22 



В  тех  случаях,  когда  множество  зна-

чений функции 

)

(x



g

 известно, то пишет-

ся  ограничение  на  новую  переменную. 

Например, 



t

sin


 

при 


,

1

1





t

 

t



cos


  при 

,

1



1





t

 

t



2

sin



  при 

,

1



0

 t



 

t

2

cos



 

при 


,

1

0



 t

 

t

arcsin


  при 

,

2



2





t

 

t



arccos


 

при 


,

0



 t

 

t

arctg


  при 

,

2



2





t

 

t



arcctg


 при 

.

0



 t



  

Иногда  при  решении  уравнений  часть 

«посторонних»  решений  возникающих  в 

результате  замены  могут  быть  удалены 

по  причине  несоответствия  их  области 

определения  или  множеству  значений 

тригонометрических  и  обратных  триго-

нометрических функций. Напомним их. 

Функция 

Область  

определения 

Множество 

значений 

x

y

sin


 

)



;

(





 



]

1

;



1

[

 



x

y

cos


 

)



;

(





 



]

1

;



1

[

 



x

y

tg



 

все 


k

x



2





Z



k

 

)

;



(





 

x



y

ctg


 

все 



k

x





Z



k

 

)

;



(





 

x



y

arcsin


 

]



1

;

1



[

 







2



;

2

 



x

y

arccos


 

]



1

;

1



[

 

]



;

0

[



  

x

y

arctg


 

)



;

(





 









2

;

2



 

x

y

arcctg


 

)



;

(





 



)

;

0



(

  


Покажем  на  примерах  как  ограниче-

ние,  связанное  с  новой  переменной,  по-

зволяет проводить проверку на промежу-

точном этапе решения. 



Пример 39. Решить уравнение 

0

8



2

cos


15

2

cos



2

2





x



x



Решение.  Обозначим 

,

2

cos



t

x

  где 



.

1

1





t

  Полученное  квадратное  урав-

нение 

0

8



15

2

2





t

t

 

имеет 



корни 

2

1



1



t

  и 


8

2



t

  (не  удовлетворяет  усло-

вию 

1

1





t

).  


Решая уравнение 

2

1



2

cos




x

, получаем 

,

,



2

2

1



arccos

2

Z











n

n

x

 

,



,

4

2



1

arccos


2

Z











n



n

x

,

,



4

3

2



Z











n

n

x

 

.



,

4

3



4

Z







n

n

x

 

Ответ

.

,

4



3

4

Z







n



n

 

Пример 40. Решить уравнение 

0

15

arccos



8

arccos


2





x

x



Решение.  Положим 



t

arccos


.  Так 

как 


множество 

значений 

функции 

x

arccos  – отрезок 





;

0

, найдем решения 



уравнения 

0

15



8

2



 t



t

удовлетво-



ряющие условию  



 t

0

. Такой корень 



один: 

3

.  Если 

3

,  то 

3

arccos 



x

откуда 



3

cos




x



Ответ: 

3

cos


Сведение  тригонометрических  уравне-

ний  к  алгебраическим  путем  замены  пе-

ременной  –  одна  из  наиболее  плодотвор-

ных  идей,  используемая  для  решения 

тригонометрических 

уравнений. 

Рас-


смотрим  несколько  типичных  ситуаций 

введения новой переменной. 



уравнения, сводящиеся к многочлену от 

одной тригонометрической функции 

Рассмотрим  уравнения,  сводящиеся  к  

квадратным  относительно  синуса,  коси-

нуса, тангенса или котангенса. 



Пример 41. Решить уравнение 

0

1



cos

sin


2

2





x



x



Решение.  Используя  основное  триго-

нометрическое 

тождество, 

приведем 

уравнение к виду  

0

cos


1

cos


2

2





x



x

 или 

0

)



1

)(cos


1

cos


2

(





x



x

. 

Отсюда   


Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

23 



5

,

0



cos



x

, 

,

,

2



3

2

Z







n

n

x

 или 

1

cos 



x

, 

.

,

2



Z





k

k

x

 

Заметим,  что  все  решения  можно 



представить 

одной 


формулой 

.

,



3

2

Z





k

k

x



Ответ

.

,

3



2


Download 0,96 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   19




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish