Z
n
.
Ответ:
n
4
,
Z
n
.
применение универсальной
тригонометрической подстановки
Так как
sin x
,
x
cos ,
tg x и ctg x выра-
жаются через
tg
2
x
, то уравнение вида
0
)
ctg
,
tg
,
cos
,
(sin
x
x
x
x
f
подстановкой
2
tg
x
t
часто удается свести к алгебраи-
ческому уравнению. При этом следует
иметь в виду, что замена
x
sin
на
2
tg
1
2
tg
2
2
x
x
и
x
cos на
2
tg
1
2
tg
1
2
2
x
x
ведет к су-
жению области определения уравнения,
поскольку из рассмотрения исключаются
значения
x , при которых
0
2
cos
x
, т.е.
n
x
2
. Поэтому при применении
универсальной тригонометрической под-
становки необходимо дополнительно вы-
яснить, являются или нет исключаемые
из рассмотрения значения
x корнями ис-
ходного уравнения.
Пример 48. Решить уравнение
x
x
2
5
,
1
sin
2
1
tg
.
Решение. Преобразовав уравнение к
виду
x
x
2
cos
2
1
tg
, введем новую
переменную
t
x
tg
. Так как исходное
уравнение не определено для
n
x
2
,
то такая замена не может привести к по-
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
26
тере корней. Заменив
x
2
cos
на
2
2
1
1
t
t
,
получим уравнение
2
2
1
1
2
1
t
t
t
, кото-
рое равносильно каждому следующему
уравнению:
0
)
1
(
2
)
1
)(
1
(
2
2
t
t
t
;
0
)
1
)(
1
(
2
)
1
)(
1
(
2
t
t
t
t
;
0
)
3
2
)(
1
(
2
t
t
t
.
Получаем
1
t
и, возвращаясь к пере-
менной
x , решаем уравнение
1
tg
x
.
Отсюда
4
x
n
,
n Z
.
Ответ:
,
4
n n
Z
.
Тренировочные упражнения
Решите уравнение:
29.
0
10
2
sin
19
2
sin
2
2
x
x
.
30.
0
1
sin
5
cos
2
2
x
x
.
31.
56
,
0
2
sin
)
cos
(sin
2
x
x
x
.
32.
0
7
)
cos
(sin
11
2
sin
5
x
x
x
.
33.
2
cos
5
cos
sin
4
sin
3
2
2
x
x
x
x
.
34.
4
cos
cos
sin
2
sin
5
2
2
x
x
x
x
.
35.
5
2ctg
3tg
x
x
.
36.
1
ctg
3
4tg
x
x
.
37.
2
sin
2
sin
sin
2
cos
2
2
4
2
x
x
x
x
.
38.
4
cos
3
4
cos
3
3
3
2
x
x
.
39. Решите уравнение
0
5
cos
7
cos
6
2
x
x
.
Укажите корни, принадлежащие отрезку
]
2
;
[
.
40. Решите уравнение
0
5
sin
12
sin
4
2
x
x
.
Укажите корни, принадлежащие отрезку
]
2
;
[
.
41. Дано уравнение
0
3
cos
3
sin
2
2
x
x
.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие от-
резку
]
3
;
[
.
42. Дано уравнение
0
cos
3
cos
sin
2
sin
2
2
x
x
x
x
.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие от-
резку
2
;
.
43. Дано уравнение
0
6
tg
5
tg
2
x
x
.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие от-
резку
2
;
2
.
44. Дано уравнение
0
6
tg
4
cos
1
2
x
x
.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие от-
резку
2
7
;
2
.
45. Дано уравнение
0
3
tg
2
tg
1
2
x
x
.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие от-
резку
2
7
;
2
.
2.3. Метод разложения на множители
Один из основных подходов к реше-
нию тригонометрических уравнений со-
стоит в их последовательном упрощении
с целью сведения к одному или несколь-
ким простейшим. Для упрощения исполь-
зуются тригонометрические формулы.
Универсального ответа на вопрос, какие
формулы следует применить в том или
ином случае, нет, однако есть ряд прие-
мов, которые полезно иметь в виду при
поиске решения.
Довольно часто в результате преобра-
зований удается привести уравнение к
виду
0
)
(
...
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
x
f
k
. В этом
случае дальнейшее решение сводится к
поиску корней уравнений
0
)
(
1
x
f
,
0
)
(
2
x
f
, …,
0
)
(
x
f
k
и дальнейшему
отбору тех из них, которые принадлежат
области определения исходного уравне-
ния.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
27
Такой подход к решению уравнений,
известный как метод разложения на мно-
жители, является универсальным (его
применяют при решении рациональных,
иррациональных, показательных и лога-
рифмических уравнений).
Пример 49. Решить уравнение
0
2
sin
2
sin
cos
sin
6
x
x
x
x
.
Решение. Воспользуемся формулой
синуса двойного аргумента
,
0
2
sin
2
sin
2
sin
3
x
x
x
.
0
2
sin
3
2
sin
x
x
Так как
,
0
2
sin
3
x
то последнее
уравнение равносильно системе
,
0
0
2
sin
x
x
.
0
,
,
2
k
k
k
x
Z
Ответ:
.
0
,
,
2
k
k
k
Z
Пример 50. Решить уравнение
0
)
1
(sin
tg
x
x
.
Решение. Так как общий наименьший
период функций
x
tg и
x
sin
равен
2
, то
отбор корней удобно проводить на про-
межутке
)
2
;
0
[
. Проведем равносильные
преобразования:
0
)
1
(sin
tg
x
x
0
cos
,
1
sin
,
0
sin
x
x
x
,
2
,
2
2
,
m
x
k
x
n
x
Z
l
k
n
,
,
.
На промежутке
)
2
;
0
[
из трех корней
0,
2
,
исключаем число
2
, поэтому
множество корней данного уравнения за-
дается формулой
Z
l
l
x
,
.
Ответ:
Z
l
l,
.
Пример 51. Решить уравнение
x
x
x
tg
tg
8
cos
.
Решение. Перепишем уравнение в ви-
де
0
1
8
cos
tg
x
x
.
Функции, входящие в последнее урав-
нение, определены при всех
x кроме
n
x
2
,
Z
n
. На этом множестве
последнее уравнение равносильно сово-
купности уравнений
0
tg
x
и
1
8
cos
x
,
решения которых определяются форму-
лами
n
x
и
4
n
x
,
Z
n
.
Теперь необходимо отобрать из полу-
ченных значений
x те, которые удовле-
творяют
условию
0
cos
x
,
т.е.
n
x
2
,
Z
n
. Для первой серии кор-
ней условие
0
cos
x
выполняется. Для
отбора корней второй серии
4
n
x
вос-
пользуемся следующим.
Представим
число
n
в
виде
p
k
n
4
, где
Z
k
, а
p
принимает
значения 0, 1, 2 и 3. Тогда при разных
значениях
p
корни второй серии будут
иметь вид:
k
x
при
0
p
;
k
x
4
при
1
p
;
k
x
2
при
2
p
и
k
x
4
3
при
3
p
.
Значит при
2
p
получаются «запре-
щенные» значения, а все оставшиеся ре-
шения можно задать, например, как сово-
купность серий:
2
4
n
и
n
,
Z
n
,
причем вторая из этих серий была полу-
чена ранее.
Ответ:
2
4
n
,
n
,
Z
n
.
В случае тригонометрических уравне-
ний проблема преобразования исходного
уравнения к виду уравнения к виду
0
)
(
...
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
x
f
k
решается, глав-
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
28
ным образом, путем использования три-
гонометрических формул. Рассмотрим,
как это делается, на примерах.
Пример 52. Решить уравнение
0
cos
sin
2
cos
x
x
x
.
Решение. Так как
x
x
x
2
2
sin
cos
2
cos
,
то данное уравнение равносильно сле-
дующим:
0
sin
cos
sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
x
x
;
0
1
sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
.
Полученное уравнение в свою очередь
равносильно совокупности уравнений
0
sin
cos
x
x
и
0
1
sin
cos
x
x
.
1)
0
sin
cos
x
x
;
0
4
cos
2
x
;
n
x
2
4
;
n
x
4
,
Z
n
.
2)
0
1
sin
cos
x
x
;
1
4
cos
2
x
;
2
1
4
cos
x
;
n
x
2
4
4
3
,
Do'stlaringiz bilan baham: |