Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011



Download 0,96 Mb.
Pdf ko'rish
bet9/19
Sana11.03.2020
Hajmi0,96 Mb.
#42090
TuriРеферат
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   19
Bog'liq
C12012


Z



n



Ответ 

n



4



Z



n



применение универсальной  

тригонометрической подстановки 

Так как 


sin x



x

cos , 

tg  и  ctg  выра-



жаются  через 

tg

2



x

,  то  уравнение  вида 

0

)

ctg



,

tg

,



cos

,

(sin





x

x

x

x

f

  подстановкой 

2

tg

x



  часто  удается  свести  к  алгебраи-

ческому  уравнению.  При  этом  следует 

иметь  в  виду,  что  замена 



x

sin


  на 

2

tg



1

2

tg



2

2

x



x

 и 



x

cos  на 


2

tg

1



2

tg

1



2

2

x



x



 ведет к  су-

жению  области  определения  уравнения, 

поскольку  из  рассмотрения  исключаются 

значения 



,  при  которых 

0

2



cos



x

,  т.е. 

n

x



2



.  Поэтому  при  применении 

универсальной  тригонометрической  под-

становки  необходимо  дополнительно  вы-

яснить,  являются  или  нет  исключаемые 

из рассмотрения значения 

 корнями ис-

ходного уравнения. 



Пример 48. Решить уравнение  



x

x

2

5



,

1

sin



2

1

tg







Решение.  Преобразовав  уравнение  к 

виду 

x

x

2

cos



2

1

tg





,  введем  новую 

переменную 



t

tg

.  Так  как  исходное 



уравнение  не  определено  для 

n

x



2



то  такая  замена  не  может  привести  к  по-



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

26 



тере  корней.  Заменив 

x

2

cos



  на 

2

2



1

1

t



t



получим  уравнение 

2

2

1



1

2

1



t

t

t





,  кото-

рое  равносильно  каждому  следующему 

уравнению: 

0

)



1

(

2



)

1

)(



1

(

2



2





t

t

t

0



)

1

)(



1

(

2



)

1

)(



1

(

2







t

t

t

t

0



)

3

2



)(

1

(



2





t



t

t

Получаем 



1



t

  и,  возвращаясь  к  пере-

менной 

,  решаем  уравнение 

1

tg





x

Отсюда 


4

x

n

 



 



 Z



Ответ

,

4



n n



 

 Z



Тренировочные упражнения 

Решите уравнение: 



29

0

10



2

sin


19

2

sin



2

2





x



x



30

0

1



sin

5

cos



2

2





x



x



31. 

56

,



0

2

sin



)

cos


(sin

2





x



x

x



32. 

0

7

)



cos

(sin


11

2

sin



5





x



x

x



33

2

cos


5

cos


sin

4

sin



3

2

2





x

x

x

x

. 



34

4

cos



cos

sin


2

sin


5

2

2





x

x

x

x

. 



35

5

2ctg



3tg



x

x



36

1

ctg


3

4tg




x



x



37. 

 

2

sin



2

sin


sin

2

cos



2

2

4



2

x

x

x

x









38. 

 















4

cos


3

4

cos



3

3

3



2

x

x



39. Решите уравнение  

0

5

cos



7

cos


6

2





x



x

Укажите  корни,  принадлежащие  отрезку 



]

2

;



[



.  


40. Решите уравнение  

0

5



sin

12

sin



4

2





x



x

Укажите  корни,  принадлежащие  отрезку 



]

2

;



[



.  


41. Дано уравнение  

0

3



cos

3

sin



2

2





x



x



а) Решите уравнение. 



б)  Укажите  корни,  принадлежащие  от-

резку 


]

3

;



[



.  

42. Дано уравнение  

0

cos



3

cos


sin

2

sin



2

2





x

x

x

x



а) Решите уравнение. 



б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 








2

;

.  



43. Дано уравнение 

0

6



tg

5

tg



2





x

x



а) Решите уравнение. 



б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 








2

;



2

.  


44. Дано уравнение 

0

6



tg

4

cos



1

2





x



x



а) Решите уравнение. 



б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 






2



7

;

2



.  

45. Дано уравнение 

0

3



tg

2

tg



1

2





x



x



а) Решите уравнение. 



б) Укажите корни, принадлежащие от-

резку 






2



7

;

2



.  

2.3. Метод разложения на множители 

Один  из  основных  подходов  к  реше-

нию  тригонометрических  уравнений  со-

стоит  в  их  последовательном  упрощении 

с  целью  сведения  к  одному  или  несколь-

ким простейшим. Для упрощения исполь-

зуются  тригонометрические  формулы. 

Универсального  ответа  на  вопрос,  какие 

формулы  следует  применить  в  том  или 

ином  случае,  нет,  однако  есть  ряд  прие-

мов,  которые  полезно  иметь  в  виду  при 

поиске решения.  

Довольно  часто  в  результате  преобра-

зований  удается  привести  уравнение  к 

виду 

0

)



(

...


)

(

)



(

2

1







x

f

x

f

x

f

k

.  В  этом 

случае  дальнейшее  решение  сводится  к 

поиску  корней  уравнений 

0

)

(



1



x



f

0



)

(

2





x

f

,  …, 


0

)

(





x

f

k

  и  дальнейшему 

отбору  тех  из  них,  которые  принадлежат 

области  определения  исходного  уравне-

ния.  


Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

27 



Такой  подход  к  решению  уравнений, 

известный как метод разложения на мно-

жители,  является  универсальным  (его 

применяют  при  решении  рациональных, 

иррациональных,  показательных  и  лога-

рифмических уравнений).  



Пример 49. Решить уравнение  

0

2



sin

2

sin



cos

sin


6



x

x

x

x



Решение.  Воспользуемся  формулой 

синуса двойного аргумента 

,

0



2

sin


2

sin


2

sin


3



x

x

x

 

.



0

2

sin



3

2

sin









x



x

 

Так  как 



,

0

2



sin

3





x

  то  последнее 

уравнение равносильно системе 





,

0

0



2

sin


x

x

    


.

0

,



,

2





k

k

k

x

Z

 

Ответ

.

0

,



,

2





k



k

k

Z

 

Пример 50. Решить уравнение  

0

)

1



(sin

tg





x

x



Решение.  Так  как  общий  наименьший 

период функций 

x

tg  и 


x

sin


 равен 

2



, то 

отбор  корней  удобно  проводить  на  про-

межутке 

)

2



;

0

[



 .  Проведем  равносильные 

преобразования: 

0

)

1



(sin

tg





x

x

    








0



cos

,

1



sin

,

0



sin

x

x

x

    
















,

2



,

2

2



,

m

x

k

x

n

x

 

Z



l

k

n

,

,



На  промежутке 

)

2

;



0

[

   из  трех  корней 



0, 

2



   исключаем  число 

2



,  поэтому 



множество корней данного уравнения за-

дается формулой  



Z





l

l

x

,

.  



Ответ

Z



l

l,



Пример 51. Решить уравнение 



x

x

x

tg

tg



8

cos




Решение.  Перепишем  уравнение  в  ви-

де  


0



1

8

cos



tg





x

x

Функции,  входящие  в  последнее  урав-



нение,  определены  при  всех 

  кроме 

n

x



2





Z



n

.  На  этом  множестве 

последнее  уравнение  равносильно  сово-

купности  уравнений 

0

tg





x

 и 


1

8

cos





x

решения  которых  определяются  форму-



лами 

n

x



 и 

4

n



x





Z



n

Теперь  необходимо  отобрать  из  полу-



ченных  значений 

  те,  которые  удовле-

творяют 


условию 

0

cos 



x

т.е. 



n

x



2





Z



n

. Для первой серии кор-

ней  условие 

0

cos 


x

  выполняется.  Для 

отбора  корней  второй  серии 

4

n



x



  вос-

пользуемся следующим. 

Представим 

число 


 

в 

виде 



p

k

n

 4



,  где 

Z



k

,  а 

p

  принимает 

значения  0,  1,  2  и  3.  Тогда  при  разных 

значениях 



p

  корни  второй  серии  будут 

иметь вид: 

k

x



 при 

0



p



k



x



4



 при 

1



p



k



x



2



  при 

2



p

  и 


k

x



4



3

  при 


3



p

Значит  при 



2



p

  получаются  «запре-

щенные»  значения,  а  все  оставшиеся  ре-

шения можно задать, например, как сово-

купность  серий: 

2

4

n





  и 

n

 , 


Z



n

причем  вторая  из  этих  серий  была  полу-



чена ранее.  

Ответ

2

4



n





n

 , 

Z



n

В  случае  тригонометрических  уравне-



ний  проблема  преобразования  исходного 

уравнения  к  виду  уравнения  к  виду 

0

)

(



...

)

(



)

(

2



1





x



f

x

f

x

f

k

  решается,  глав-



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

28 



ным  образом,  путем  использования  три-

гонометрических  формул.  Рассмотрим, 

как это делается, на примерах. 

Пример 52. Решить уравнение 

0

cos



sin

2

cos





x

x

x



Решение. Так как  



x

x

x

2

2



sin

cos


2

cos




то  данное  уравнение  равносильно  сле-

дующим:  



 



0

sin



cos

sin


cos

sin


cos





x

x

x

x

x

x



 

0



1

sin


cos

sin


cos





x

x

x

x

Полученное уравнение в свою очередь 



равносильно совокупности уравнений  

0

sin



cos



x

x

 и 


0

1

sin



cos





x

x

1) 



0

sin


cos



x

x

0



4

cos


2









x

;  


n

x





2

4





n

x



4





Z



n

.  

2) 


0

1

sin



cos





x

x

;  


1

4

cos



2









x

2

1



4

cos










x

;  


n

x





2



4

4

3





Download 0,96 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   19




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish