.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
39
что числа этого вида являются корнями
исходного уравнения.
Ответ:
Z
n
n,
2
.
Пример 75. Решить уравнение
1
8
tg
5
tg
x
x
.
Решение.
1
8
tg
5
tg
x
x
1
8
cos
8
sin
5
cos
5
sin
x
x
x
x
;
0
5
cos
,
0
8
cos
,
0
5
sin
8
sin
5
cos
8
cos
x
x
x
x
x
x
;
0
5
cos
,
0
8
cos
,
0
3
cos
x
x
x
.
,
5
10
,
,
8
16
,
,
3
6
Z
Z
Z
m
m
x
k
k
x
n
n
x
Выясним,
какие
из
значений
3
6
n
x
,
Z
n
, являются недопусти-
мыми. Для этого решим в целых числах
уравнения
8
16
3
6
k
n
и
5
10
3
6
m
n
.
Рассмотрим
уравнение
8
16
3
6
k
n
. После преобразований
получим:
k
n
6
3
16
8
5
16
6
n
k
.
Последнее равенство невозможно, так
как в левой его части стоят четные числа,
а в правой – нечетное.
Рассмотрим уравнение
5
10
3
6
m
n
.
После преобразований получим:
m
n
6
3
10
5
1
5
3
n
m
3
1
5
n
m
3
1
2
n
n
m
.
Поскольку m и n – целые числа, то
t
n
3
1
, где
Z
t
. Таким образом,
1
3
t
n
– недопустимые значения. Итак,
3
6
n
x
,
Z
n
и
1
3
t
n
(
Z
t
).
Заметим, что в этой задаче форму за-
писи ответа можно упростить. Для этого
напомним, что при делении на 3 возмож-
ны только остатки 0, 1 или 2, т.е. любое
целое число n представимо в одном из
трех видов:
t
n
3
,
1
3
t
n
или
2
3
t
n
(
Z
t
).
Значит,
либо
t
n
3
,
либо
2
3
t
n
. Получаются две серии реше-
ний:
t
x
6
1
и
t
x
6
5
2
. Эти серии
решений легко объединяются. Оконча-
тельно получаем:
l
x
6
,
Z
l
.
Ответ:
l
6
,
Z
l
.
Иногда умножение на выражение с пе-
ременной является ключевым при реше-
нии некоторых уравнений, которые не
имеют дробей.
Пример 76. Решить уравнение
.
1
4
cos
2
cos
cos
8
x
x
x
Решение. Ключевым моментом в ре-
шении данного уравнения является ум-
ножение обеих частей уравнения на
.
sin x
Проверим имеет ли исходное уравнение
корни уравнения
,
0
sin
x
то есть числа
.
,
Z
n
n
Если n – четное, то есть
,
2
1
n
n
то подставляя
1
2 n
, получаем
ложное равенство
1
8
. При нечетном
n,
то есть
,
1
2
1
n
n
подставим
1
2 n
.
Получим также ложное равенство
.
1
8
Преобразуем данное уравнение
1
4
cos
2
cos
cos
8
x
x
x
x
x
x
x
x
sin
4
cos
2
cos
cos
sin
8
x
x
x
x
sin
4
cos
2
cos
2
sin
4
x
x
x
sin
4
cos
4
sin
2
0
sin
8
sin
x
x
,
9
2
9
,
7
2
k
x
m
x
.
,
Z
k
m
При умножении обеих частей уравне-
ния на
x
sin
могут появиться посторон-
ние корни
.
,
Z
n
n
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
40
Для
7
2 m
x
рассмотрим уравнение
n
m
7
2
или
.
7
2
n
m
Если n нечетное,
то есть
Z
p
p
n
,
1
2
, то равенство
7
14
2
p
m
невозможно (в левой части
четное число, в правой – нечетное). Пусть
Z
p
p
n
,
2
,
тогда
имеем
.
,
7
Z
p
p
m
Отсюда следует, что чис-
ла вида
7
2 m
являются корнями данного
уравнения, где
.
,
7
Z
p
p
m
Если
9
2
9
k
x
,
то
имеем
n
k
9
2
9
или
.
9
2
1
n
k
Если n
четное, то есть
Z
t
t
n
,
2
, то равенство
k
t
2
18
1
невозможно.
Пусть
Z
t
t
n
,
1
2
,
тогда
получаем
Z
t
t
k
,
4
9
.
Ответ:
,
7
2 m
;
,
;
7
Z
p
m
p
m
,
9
2
9
k
Z
t
k
t
k
,
;
4
9
.
Тренировочные упражнения
104. Решите уравнение
1
3
cos
2
sin
cos
x
x
x
.
105. Определите количество корней
уравнения
0
1
cos
2
3
sin
2
x
x
на промежут-
ке
]
5
;
3
[
.
Решите уравнение:
106.
0
3
sin
2
cos
x
x
. 107.
0
1
ctg
sin
1
2
cos
x
x
x
.
108.
0
3
2sin
1
cos
2
cos
x
x
x
.
109.
0
3
2cos
1
sin
2
cos
x
x
x
.
110.
0
3
tg
sin
3
cos
2
2
2
x
x
x
.
111.
0
3
ctg
cos
3
sin
2
2
2
x
x
x
.
112.
0
1
2cos
tg
3
2
ctg
2
x
x
x
.
113.
0
3
2sin2
1
sin
2
cos3
sin2
sin4
x
x
x
x
x
.
114. Найдите все значения
x , при каж-
дом из которых выражения
x
x
2
tg
4
sin
и
x
x
x
2
tg
sin
cos
4
4
принимают равные значе-
ния.
Решите уравнение:
115.
0
sin
5
cos
2
ctg
x
x
x
.
116.
x
x
x
x
tg
5
tg
4
tg
2
tg
.
117.
0
sin
3
sin
x
x
. 118.
0
1
cos
2
3
sin
2
x
x
.
119.
x
x
x
cos
tg
2
sin
.
120.
0
cos
sin
cos
1
x
x
x
.
121.
0
4
cos
sin
x
x
x
.
122.
1
3
cos
cos
cos
sin
x
x
x
x
.
123.
0
sin
3
5sin
tg
3
tg
4
2
2
x
x
x
x
.
124.
0
cos
4
5cos
ctg
4
ctg
3
2
2
x
x
x
x
.
125.
x
x
x
x
2
cos
4
sin
2
sin
4
cos
.
126.
0
sin
ctg
4
ctg
cos
4
x
x
x
x
.
127.
1
sin
7
cos
4
tg
2
sin
3
2
x
x
x
x
.
128. Найдите сумму различных корней
уравнения
x
x
x
14
2
3
sin
7
cos
7
sin
4
2
2
2
6
5
3
4
cos
2
5
2
3
cos
2
5
3
sin
x
x
x
на отрезке
]
5
;
3
[
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
41
Уравнения, содержащие
корни натуральной степени
Пример 77. Решить уравнение:
x
x
5
,
0
cos
6
sin
2
3
2
.
Решение. Данное уравнение равно-
сильно смешанной системе:
.
5
,
0
cos
6
sin
2
3
,
0
5
,
0
cos
2
2
x
x
x
(*)
Для решения уравнения, входящего в
систему (*), воспользуемся формулами
2
cos
2
sin
2
sin
x
x
x
и
2
cos
1
2
sin
2
2
x
x
.
Получим:
2
cos
6
2
cos
2
sin
8
3
2
2
2
x
x
x
x
2
cos
6
5
,
0
cos
2
cos
1
8
3
2
2
2
x
x
x
0
3
2
cos
2
2
cos
8
2
4
x
x
.
Сделав замену
t
x
2
cos
2
, где
1
0
t
,
получим уравнение
0
3
2
8
2
t
t
. Дан-
ное уравнение имеет два корня:
4
3
1
t
и
2
1
2
t
. Заметим, что корень
2
1
2
t
не
удовлетворяет условию
1
0
t
. Возвра-
щаясь к исходной системе, получим:
4
3
2
cos
,
0
2
cos
2
x
x
;
2
3
2
cos
,
2
3
2
cos
,
0
2
cos
x
x
x
2
3
2
cos
x
n
x
4
3
,
Do'stlaringiz bilan baham: