Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011



Download 0,96 Mb.
Pdf ko'rish
bet14/19
Sana11.03.2020
Hajmi0,96 Mb.
#42090
TuriРеферат
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19
Bog'liq
C12012


Пример 74. Решить уравнение 

0

2

tg



ctg



x

x



Решение

Имеем 

последовательно  



,

0

tg



1

tg

2



tg

1

2





x

x

x

 

.



0

tg

1



2



x

  Последнее 

уравнение  не  имеет  корней.  При  замене 

выражения 

x

ctg  на выражение 



x

tg

1



и при 

замене  выражения 



x

2

tg



  на  выражение  

x

x

2

tg



1

tg

2



может  произойти  потеря  корней  



Z





n



n,

2

.  Проверкой  убеждаемся, 



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

39 



что  числа  этого  вида  являются  корнями 

исходного уравнения. 



Ответ

Z





n



n,

2

. 



Пример 75. Решить уравнение 

1

8



tg

5

tg





x



x



Решение

1

8

tg



5

tg





x

x

   


1

8

cos



8

sin


5

cos


5

sin




x

x

x

x

  








;

0



5

cos


,

0

8



cos

,

0



5

sin


8

sin


5

cos


8

cos


x

x

x

x

x

x

  


  







;

0

5



cos

,

0



8

cos


,

0

3



cos

x

x

x

    


















.

,

5



10

,

,



8

16

,



,

3

6



Z

Z

Z

m

m

x

k

k

x

n

n

x

 

Выясним, 



какие 

из 


значений 

3

6



n

x





Z



n

,  являются  недопусти-

мыми.  Для  этого  решим  в  целых  числах 

уравнения 

8

16



3

6

k



n





 



и 

5

10



3

6

m



n







Рассмотрим 

уравнение 

8

16

3



6

k

n





.  После  преобразований 



получим: 

k

n

6

3



16

8



  



5

16

6





n



k

Последнее  равенство  невозможно,  так 



как в левой его части стоят четные числа, 

а в правой – нечетное. 

Рассмотрим уравнение 

5

10



3

6

m



n







После преобразований получим: 

m

n

6

3



10

5



  



1

5

3



 n



m

  


 

3

1



5 



n



m

  


3

1

2





n

n

m

Поскольку  m  и  n  –  целые  числа,  то 



t

n

3

1 



,  где 


Z



t

.  Таким  образом, 

1

3 



 t

n

 – недопустимые значения. Итак,  

3

6

n



x





Z



n

 и 

1

3 



 t

n

 (

Z



t

). 


Заметим,  что  в  этой  задаче  форму  за-

писи  ответа  можно  упростить.  Для  этого 

напомним, что при делении на 3 возмож-

ны  только  остатки  0,  1  или  2,  т.е.  любое 

целое  число  n  представимо  в  одном  из 

трех видов: 



t

n

3



1

3 



 t

n

 или 


2

3 


 t

n

 

(



Z



t

). 

Значит, 


либо 

t

n

3



либо 


2

3 


 t

n

.  Получаются  две  серии  реше-

ний: 

t

x



6



1

 и 


t

x



6



5

2

. Эти серии 



решений  легко  объединяются.  Оконча-

тельно получаем: 



l

x





6



Z



l



Ответ: 



l



6





Z



l

Иногда умножение на выражение с пе-



ременной  является  ключевым  при  реше-

нии  некоторых  уравнений,  которые  не 

имеют дробей.  

Пример 76. Решить уравнение  

.

1



4

cos


2

cos


cos

8



x

x

x

 

Решение.  Ключевым  моментом  в  ре-

шении  данного  уравнения  является  ум-

ножение обеих частей уравнения на 

.

sin x



 

Проверим  имеет  ли  исходное  уравнение 

корни  уравнения 

,

0



sin



x

  то  есть  числа 

.

,



Z



n

n

  Если  n  –  четное,  то  есть 

,

2

1



n

  то  подставляя 

1

n



,  получаем 

ложное  равенство 

1

8 



.  При нечетном  n

то  есть 

,

1

2



1

 n



n

  подставим 





1

n

Получим также ложное равенство 



.

1

8 



 

Преобразуем данное уравнение 



1

4

cos



2

cos


cos

8



x

x

x

    


x

x

x

x

x

sin


4

cos


2

cos


cos

sin


8

    



  

x

x

x

x

sin


4

cos


2

cos


2

sin


4

    





x

x

x

sin


4

cos


4

sin


2

     



  

0

sin



8

sin




x



x

    


  









,

9



2

9

,



7

2

k



x

m

x

 

.



,

Z



k



m

 

При  умножении  обеих  частей  уравне-



ния  на 

x

sin


  могут  появиться  посторон-

ние корни 

.

,

Z





n



n

 


Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

40 



Для 

7

m



x



  рассмотрим  уравнение 

n

m



7

2



 или 

.

7



2

n

Если n нечетное, 

то  есть 

Z





p

p

n

,

1



2

,  то  равенство 

7

14

2





p



m

  невозможно (в  левой  части 

четное число, в правой – нечетное). Пусть 

Z



p

p

n

,

2



тогда 


имеем 

.

,



7

Z



p

p

m

  Отсюда  следует,  что  чис-

ла вида 

7

m



 являются корнями данного 

уравнения, где 

.

,



7

Z



p

p

m

 

Если 



9

2

9



k

x





то 

имеем 


n

k





9

2

9



  или 

.

9



2

1

n



  Если  n 



четное, то есть 

Z



t

t

n

,

2



, то равенство 

k

t

2

18



1



 

невозможно. 

Пусть 

Z





t

t

n

,

1



2

тогда 



получаем 

Z





t

t

k

,

4



9



Ответ: 

,

7

m



 

;



,

;

7



Z



p

m

p

m

 

,



9

2

9



k



 

Z





t

k

t

k

,

;



4

9



Тренировочные упражнения 

104. Решите уравнение 

1

3



cos

2

sin



cos



x

x

x



105.  Определите  количество  корней 

уравнения 

0

1



cos

2

3



sin

2







x

x

 на промежут-

ке 

]

5



;

3

[



Решите уравнение: 



106. 

0

3



sin

2

cos





x

x

.   107. 

0

1

ctg



sin

1

2



cos





x



x

x



108. 

0

3

2sin



1

cos


2

cos






x

x

x



109. 

0

3

2cos



1

sin


2

cos






x

x

x



110. 

0

3

tg



sin

3

cos



2

2

2







x

x

x



111. 

0

3

ctg



cos

3

sin



2

2

2







x

x

x



112. 

0

1

2cos



tg

3

2



ctg

2











x

x

x



113. 

0

3

2sin2



1

sin


2

cos3


sin2

sin4






x

x

x

x

x



114. Найдите все значения 



, при каж-

дом  из  которых  выражения 



x

x

2

tg



4

sin


  и 

x

x

x

2

tg



sin

cos


4

4



  принимают  равные  значе-

ния. 


Решите уравнение: 

115. 

0

sin



5

cos


2

ctg




x

x

x



116. 



x

x

x

x

tg

5



tg

4

tg



2

tg





117. 

0

sin



3

sin




x

x

.      118. 

0

1

cos



2

3

sin



2





x

x



119. 



x

x

x

cos


tg

2

sin





120. 

0

cos


sin

cos


1





x

x

x



121. 

0

4

cos



sin





x



x

x



122. 

1

3

cos



cos

cos


sin





x

x

x

x



123. 

0

sin


3

5sin


tg

3

tg



4

2

2





x

x

x

x



124. 

0

cos


4

5cos


ctg

4

ctg



3

2

2





x

x

x

x



125. 



x

x

x

x

2

cos



4

sin


2

sin


4

cos




126. 

0

sin


ctg

4

ctg



cos

4





x

x

x

x



127. 

1

sin


7

cos


4

tg

2



sin

3

2







x

x

x

x



128. Найдите сумму различных корней 

уравнения  











x



x

x

14

2



3

sin


7

cos


7

sin


4

2

2



2

 





















6

5



3

4

cos



2

5

2



3

cos


2

5

3



sin

x

x

x

 

на отрезке 



]

5

;



3

[



Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

41 



Уравнения, содержащие  

корни натуральной степени 

Пример 77. Решить уравнение

x

x

5

,



0

cos


6

sin


2

3

2





Решение.  Данное  уравнение  равно-

сильно смешанной системе: 







.

5

,



0

cos


6

sin


2

3

,



0

5

,



0

cos


2

2

x



x

x

 

(*) 



Для  решения  уравнения,  входящего  в 

систему  (*),  воспользуемся  формулами 

2

cos


2

sin


2

sin


x

x

  и 


2

cos


1

2

sin



2

2

x



x



Получим: 

2

cos


6

2

cos



2

sin


8

3

2



2

2

x



x

x

x



  

 

2



cos

6

5



,

0

cos



2

cos


1

8

3



2

2

2



x

x

x







  


 

0

3



2

cos


2

2

cos



8

2

4





x

x

Сделав  замену 



t

x

2



cos

2

,  где 



1

0



 t

получим  уравнение 



0

3

2



8

2



 t



t

.  Дан-


ное  уравнение  имеет  два  корня: 

4

3



1



t

  и 

2

1



2



t

.  Заметим,  что  корень 

2

1

2





t

  не 

удовлетворяет  условию 



1

0



 t

.  Возвра-

щаясь к исходной системе, получим: 







4

3



2

cos


,

0

2



cos

2

x



x

  














;

2



3

2

cos



,

2

3



2

cos


,

0

2



cos

x

x

x

   


 

2

3



2

cos




x

  


n

x





4

3



Download 0,96 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish