|
Пример 70. (ЕГЭ-2009, С5). Решить
уравнение
)
6
8
cos(
87
)
6
8
(
)
cos(
87
8
4
2
x
x
x
x
.
Решение. Приведём исходное уравне-
ние к виду
)
6
8
cos(
87
)
6
8
(
)
cos(
87
4
2
8
x
x
x
x
.
Рассмотрим непрерывную функцию
t
t
t
f
cos
87
)
(
4
. Данная функция опре-
делена для любого значения аргумента,
чётная, так как
)
(
)
(
t
f
t
f
. Найдём её
производную:
t
t
t
f
sin
87
4
)
(
3
.
При
)
;
0
(
t
:
0
0
0
sin
87
4
)
(
3
t
t
t
f
,
а при
)
;
[
t
:
87
4
sin
87
4
)
(
3
3
t
t
t
f
0
87
27
4
87
3
4
3
.
Таким
образом,
0
)
(
t
f
при
)
;
0
(
t
, следовательно,
)
(t
f
возрас-
тает на промежутке
)
;
0
[
. Значит, ка-
ждое своё значение из множества значе-
ний
)
( f
E
, кроме
)
0
(
f
, функция прини-
мает в двух симметричных относительно
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
37
0
t
точках, а стало быть, уравнение
)
(
)
(
2
1
t
f
t
f
равносильно
уравнению
|
|
|
|
2
1
t
t
. Записав исходное уравнение в
виде
)
6
8
(
)
(
2
x
f
x
f
, получим
|
6
8
|
)
6
8
(
)
(
2
2
x
x
x
f
x
f
;
0
8
6
,
0
8
6
;
8
6
,
6
8
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
.
4
,
2
,
17
3
,
17
3
x
x
x
x
Ответ:
17
3
;
17
3
;
2
;
4
.
Тренировочные упражнения
74. Решите уравнение
x
x
5
ctg
2
tg
.
75. Решите уравнение
x
x
ctg
3
ctg
.
76. Дано уравнение
0
cos
2
cos
x
x
.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие от-
резку
2
5
;
0
.
77. Дано уравнение
0
3
cos
6
cos
x
x
.
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие от-
резку
;
0
.
78. Укажите наибольший корень урав-
нения
2
sin
3
2
cos
x
x
, принадлежащий
отрезку
]
;
3
[
.
79. Укажите наименьший корень урав-
нения
x
x
cos
3
2
2
cos
, принадлежащий
отрезку
]
5
,
0
;
5
,
2
[
.
Решите уравнение:
80.
1
2
cos
3
cos
x
x
.
81.
1
2
cos
3
sin
x
x
.
82.
x
x
3
4
13
22
cos
.
83.
2
33
3
11
sin
2
x
x
.
84.
11
6
2
2
)
cos(
x
x
x
.
85.
7
4
3
2
2
sin
x
x
x
.
86.
2
2
4
4
1
cos
x
x
x
.
87.
1
sin
4
2
2
x
x
x
.
88.
x
x
x
2
3
sin
10
6
2
.
89.
x
x
x
4
cos
5
4
2
.
90.
|
)
cos
)
2
cos((
|
x
x
|
)
43
39
9
(
log
|
1
2
4
x
x
.
91.
2
2
2
3
cos
2
2
2
x
x
x
.
92.
3
2
2
sin
3
2
2
x
x
x
.
93.
)
2
,
0
3
2
2
(
arcsin
2
3
x
x
x
)
2
,
0
2
3
arcsin(
2
x
x
.
94.
)
2
,
0
5
2
(
arccos
2
3
x
x
x
)
2
,
0
4
2
arccos(
2
x
x
.
95.
0
16
arctg
)
9
8
4
(
arctg
2
2
x
x
x
.
96.
2
cos
4
5
sin
)
8
4
(
log
2
2
x
x
x
x
.
97.
4
sin
cos
)
13
4
(
log
2
3
x
x
x
x
.
98.
4
6
)
5
2
(
2
2
x
x
0
)
13
sin(
x
.
99.
9
6
)
3
(
2
2
x
x
0
2
13
cos
x
.
100.
16
49
2
1
log
2
3
2
cos
sin
x
x
x
x
.
101.
x
x
2
2
sin
4
16
)
1
(
.
102.
4
2
)
3
4
(
)
cos(
98
x
x
)
3
4
cos(
98
8
x
x
.
103.
)
8
12
cos(
23
)
cos(
23
2
x
x
3
6
|
8
12
|
x
x
.
2.5. Комбинированные уравнения
Решение комбинированных уравнений
представляет определенные трудности
для учащихся. При решении этих уравне-
ний применяют различные методы реше-
ния.
Уравнения, содержащие дроби
Пример 71. Решить уравнение
0
sin
1
cos
x
x
.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней
25.12.2011
www.alexlarin.net
38
Решение. Данное уравнение равно-
сильно системе
0
sin
1
,
0
cos
x
x
.
1
sin
,
0
cos
x
x
Если
0
cos
x
, то из основного триго-
нометрического тождества
1
sin
x
или
1
sin
x
. Так как
1
sin
x
, то остается
отобрать те значения
x , при которых
1
sin
x
. Отсюда
,
2
2
k
x
Z
k
.
Ответ:
,
2
2
k
Z
k
.
Пример 72. Решить уравнение
1
sin
1
cos
x
x
.
Решение. Область допустимых значе-
ний уравнения определяется условием
0
sin
1
x
. На ОДЗ исходное уравнение
равносильно следующим:
0
sin
1
1
sin
cos
x
x
x
;
0
1
sin
cos
x
x
;
2
2
4
cos
x
.
Из последнего уравнения находим
n
x
2
4
4
или
n
x
2
4
4
, от-
куда
n
x
2
или
n
x
2
2
.
Если
n
x
2
, то
1
1
2
sin
1
sin
n
x
;
если
n
x
2
2
, то
0
1
2
2
sin
1
sin
n
x
.
Следовательно, числа
2 n
входят, а чис-
ла
n
2
2
не входят в область допус-
тимых значений исходного уравнения.
Ответ:
n
2
,
n Z .
Пример 73. Решить уравнение
1
3
cos
2
sin
cos
x
x
x
.
Решение. Общий наименьший поло-
жительный
период
функций
x
cos ,
,
3
cos x
x
2
sin
равен
.
2
Поэтому доста-
точно рассмотреть решения уравнения на
промежутке
)
2
;
0
[
.
Умножим обе части уравнения на
.
0
3
cos
x
Далее получаем
x
x
x
3
cos
2
sin
cos
0
2
sin
cos
3
cos
x
x
x
0
2
sin
sin
2
sin
2
x
x
x
0
)
1
sin
2
(
2
sin
x
x
,
2
1
sin
,
0
2
sin
x
x
,
2
6
7
,
2
6
,
2
m
x
l
x
k
x
.
,
,
Z
m
l
k
На промежутке
)
2
;
0
[
содержатся кор-
ни 0,
2
,
,
2
3
,
6
7
,
6
11
. Из условия
0
3
cos
x
получаем
,
,
3
6
Z
n
n
x
а
на промежутке
)
2
;
0
[
–
,
6
x
,
2
x
,
6
5
x
,
6
7
x
,
2
3
x
.
6
11
x
Таким
образом, остались числа 0 и
, а значит,
исходное уравнение имеет множество
корней
.
,
Z
t
t
x
Ответ:
.
,
Z
t
t
Do'stlaringiz bilan baham: |
