|
1.28-teorema.
Quyidan chegaralangan to'plamning quyi chegaralari orasida
eng kattasi mavjud.
1.29-ta’rif.
Quyidan chegaralangan to‘plam quyi chegaralari orasida eng
kattasi, uning
aniq quyi chegarasi
deyiladi.
Aniq quyi chegara
inJE
kabi belgilanadi.
Agar 1.29-ta’rif shartini qanoatlantiruvchi
a
soni topilmasa, u h o ld a ^ to ^ la m
quyidan chegaralanmagan
deyiladi.
Masalan,
E\
va £2 to‘plamlar quyidan chegaralanmagan.
Agar
E
to‘plam quyidan chegaralanmagan boMsa, u holda
inJE=-oo
deb
olinadi.
1.30-ta’rif.
Ham quyidan,
ham yuqoridan
chegaralangan
to ‘plam
chegaralangan
to‘plam deyiladi.
19
bo'ladi. Bu to‘plam uchun
in fl^ .n e N )
=0,
s u p { ^ ,n e N )
=1.
Aytaylik,
E
chegaralangan to‘plam boMsin. Agar
inJE=c, supE=d
belgilash
kiritsak, u holda
\c,d\
segment,
E
to‘plamni o ‘z ichiga oluvchi eng kichik segment
bo‘ladi.
Mashq va masalalar
1-1. 3-xossani isbotlang.
1-2. 4-xossani isbotlang.
1-3. 1.11-misoldadagi (A,B) kesimning yuqori sinfi В da eng kichik elementi
yo‘q ekanligini isbotlang.
1-4. Ratsional sonlar to‘plami
Q
ning, quyi sinfi
A
da eng katta element,
yuqori sinfi
В
da eng kichik element bor bo‘lgan (Л, B) kesimi mavjud emas
ekanligini isbotlang.
1-5. Quyidagi sonlami aniqlaydigan ratsional sonlar to‘plamidagi kesimlami
tuzing: a) -2, b) 6/7, c) V3.
1-6. Agar
p
tub son boMsa, u holda
J p
irratsional son ekanligini isbotlang.
1-7. Agar
n
hech bir sonning kvadratiga teng boMmasa, u holda Vn irratsional
son ekanligini isbotlang.
1-8.
y/2
+ V3 ning irratsional son ekanligini isbotlang.
1-9. log2 3 ning irratsional son ekanligini isbotlang.
1-10 Ratsional va irratsional sonlaming yig'indisi irratsional son ekanligini
isbotlang.
1-11 Ikkita irratsional sonning yig'indisi irratsional son bo‘ladimi?
a, b
ratsional sonlar va
a < b
bo lsin. U holda ular orasida kamida bitta irratsional
sonning mavjudligini isbotlang.
Masalan,
-barcha to'g'ri kasrlar to‘plami, chegaralangan to‘plam
20
1-12. Aytaylik
a
va /? haqiqiy sonlar berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy
e
musbat
son uchun quyidagi shartlami qanoatlantiruvchi
s', s
ratsional sonlar topilsa: 1)
s <
a < s';
2)
5
<
p < s';
3)
s' — s <
e
,
u
holda
a
= /? bo‘lishini isbotlang.
1-13.
c0, a xa 2 . - a n
... cheksiz o'nlik kasr biror
a
haqiqiy sonning ifodasi
boMishini isbotlang.
1-14. Haqiqiy sonlar to'plamida Arximed aksiomasi o'rinli ekanligini
isbotlang.
1-15. 1.28 teoremani isbotlang.
1-16. Quyidagi teoremani isbotlang.
a
=
supE
bo'lishi uchun quyidagi ikki
shartning bajarilishi zarur va yetarli: 1) ixtiyoriy
x E E
uchun
x < a;
2) ixtiyoriy
e
musbat son uchun shunday
x '
£
E
topilib,
x ' > a —
e
bo'ladi.
1-17.
X
to‘plam uchun infX, supX ni toping, bu yerda
to‘plamning chegaralanganligini, eng katta, eng kichik elementlari yo‘q ekanligini
isbotlang. inf
X,
sup
X
ni toping.
1-19. Aytaylik,
X, Y
haqiqiy sonlaming bo‘sh bo'lmagan chegaralangan
to'plamlari,
X
+
Y
esa barcha
x
+ y, bu yerda
x E X ,y
G
Y,
ko'rinishdagi sonlar
to‘plami bo'lsin.
X + Y
chegaralangan to‘plam va inf(A^ +
Y) —
infX +
inf У ; sup(A '
+ Y) =
sup
X
+ sup
Y
ekanligini isbotlang.
1-20. Aytaylik,
X, Y
nomanfiy haqiqiy sonlaming bo‘sh bo‘lmagan
chegaralangan to‘plamlari,
X
■
Y
esa barcha
x
•
y ,
bu yerda
x E X ,y E Y,
ko‘rinishdagi sonlar to'plam i bo‘lsin.
X + Y
chegaralangan to'plam va
inf(X • K) = infX ■ inf
Y ;
su p (X ■
Y)
= s u p ^ • sup
Y
ekanligini isbotlang.
1-21. Aytaylik,
X, Y
haqiqiy sonlaming bo‘sh bo'lmagan chegaralangan
to‘plamlari,
X — Y
esa barcha
x — y ,
bu yerda
x E X, у
6
Y,
ko‘rinishdagi sonlar
21
to‘plami bo‘lsin.
X — Y
chegaralangan to‘plam bo‘ladimi? Bu to‘plamning aniq
quyi, aniq yuqori chegaralari haqida nima deyish mumkin?
1-22. Aytaylik,
X
haqiqiy sonlaming bo‘sh bo‘lmagan chegaralangan
to'plami,
—X
esa barcha
—x ,
bu yerda
x
e
X,
ko‘rinishdagi sonlar to‘plami bo‘lsin.
—X
chegaralangan to‘plam bo‘ladimi? Bu to'plamning aniq quyi, aniq yuqori
chegaralari haqida nima deyish mumkin?
1-23. Aytaylik,
X, Y
haqiqiy sonlaming bo‘sh boMmagan to'plamlari bo iib ,
quyidagi shartlar bajarilsin:
a)
ixtiyoriy
x £ X,
ixtiyoriy
у
E
Y
uchun
x < у
tengsizlik o ‘rinli;
b)
Do'stlaringiz bilan baham: |
