T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Isbot. 
0  
Aytaylik, 
E  
yuqoridan  chegaralangan  to ‘plam  bo ‘lsin.  Ikki  holni 
ko‘rib chiqamiz.
a) 
E  
to'plam elementlari  orasida eng kattasi  mavjud, ya’ni  shunday 
x^e E  
son 
borki,  ixtiyoriy 
x e E  
lar  uchun 
x 
bo‘ladi.  Demak, 
x0 
son 
E  
to‘plamning  yuqori 
chegarasi  bo‘lib 
E 
ning boshqa ixtiyoriy 
b 
chegarasidan katta bo'lmaydi: 
x ^ b .
Bulardan 
x0 
son 
E  
to ‘plamning  o ig   kichik  yuqori  chegarasi  ekanligi  kelib
chiqadi.
17

---

b)  E  
to‘plam  elementlari  orasida  eng  kattasi  mavjud  boMmasin.  U  holda 
haqiqiy  sonlar  to‘plami  R   ni,  quyidagicha 
X  
va 
Y 
to‘plamlarga  ajratamiz: 
E
 
to‘plamning barcha yuqori  chegaralari  to‘plamini 
Y 
orqali,  R   dagi  qolgan  barcha 
sonlar to‘plamini 
X  
orqali  belgilaymiz.  Bunday ajratish  R   da kesim boMadi.
Shuni tekshiraylik:
1) 
E * 0  
va 
E c X  
dan 
X ^ 0  
kelib  chiqadi.  Shuningdek, 
E  
yuqoridan 
chegaralanganligi  uchun uning yuqori chegarasi  bor.  Demak, 
Y±*Z.
2)  Har  bir 
xe 
R   son  yoki 
E  
ga  yuqori  chegara  boMadi,  yoki 
E  
ga  yuqori 
chegara boMmaydi.  Demak,  yoki 
xeX , 
yoki 
xe 
У boMadi.  Bu  e s a A b 7 = R   ekanini 
bildiradi.
3)  Aytaylik, 
x e X  
va 
y e   Y 
boMsin.  U  holda 
x 
son 
E  
to‘plamning  yuqori 
chegarasi  boMmaydi, ya’ni 
E  
da 
x 
dan katta boMgan biror 
x^eE  
son mavjud. 
y e  Y 
son 
E  
to‘plamning yuqori chegarasi  boMganligi  uchun 
boMadi.  Bundan ixtiyoriy 
x e X
,  ixtiyoriy >>e 
Y 
uchun 
x 
boMishi  kelib chiqadi.
MaMumki,  (Д  У) kesim aniq bitta 
a 
sonni aniqlaydi. 
EcJC 
boMganligi uchun 
a
 
son 
E  
to'plamning yuqori  chegarasi  boMadi,  ya’ni 
ae Y. 
Shuningdek, 
a 
son 
Y 
ning 
eng  kichik  elementi  boMganligi  sababli, 
a 
son 
E  
to ‘plamning  yuqori  chegaralari 
orasida eng kichik son boMadi ♦  .
1.26-ta’rif. 
Yuqoridan chegaralangan to‘plam yuqori  chegaralari orasida eng 
kichigi,  uning 
aniq yuqori chegarasi
 deyiladi.
Aniq yuqori chegara 
supE 
kabi  belgilanadi.
Yuqoridagi  mulohazalar  shuni  ko‘rsatadiki,  agar 
E  
to‘plamning  eng  katta 
elementi  mavjud  boMsa,  u  holda  o'sha  son 
E 
to'plamning  aniq  yuqori  chegarasi 
boMadi.  Umuman  olganda  yuqoridan  chegaralangan  to'plamning  aniq  yuqori 
chegarasi  uning o‘ziga tegishli boMmasligi mumkin.
Masalan, £ ,4=[0;10] to‘plamda 10 soni  uning eng katta elementi va 10 soni bu 
to‘plamning aniq yuqori chegarasi boMadi. £ 5=(-8;l) to‘plam uchun 
supEs=\ 
boMib,
1  soni  unga tegishli  emas.
18

---

Yuqoridagi  misollar  uchun 
supE\=0,  supEf=2 
boMishini  tekshirish  qiyin
emas.
Agar 
E  
to‘plam  yuqondan  chegaralanmagan  bo‘Isa,  u  holda 
supE=+
oo  deb 
olinadi.