T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

Yechish. 
а) x=3  da f(x)=2x+ —— —  funksiya  ikkinchi  tur  uzilishga  ega va 
2x
lim  (2лН----)=±oo boMganligi sababli, x=3 vertikal asimptota bo'ladi.
x-3
л 
У 
2
Og‘ma asimptotalarni izlaymiz. k= lim —=  цт   (2н— —  )=2;
*-*** x 
x-3
2x
b= lim (y-kx)=  Um  (2дН 
--2x)-2.  Demak,  y=2x+2  og'ma  asimptota
X
 -»± 0? 
X - * ± 0 .' 
X
 —  
3
bo'ladi.
b) 
y=xe1/x funksiyaning aniqlanish sohasi 
(-
o o
; 0 )
u
(0 ; +
q c
)  
to'plamdan  iborat. 
x=0 nuqtada funksiyaning chap va o'ng limitlarini hisoblaymiz.
lim xe1/x=0;  Um  xel x= (J/x=t belgilash kiritamiz, u holda .*-*+0 da /->+oo
2
jc
bo'ladi)- Um — = +».) Demak, x=0 to'g'ri chiziq vertikal asimptota bo'ladi.
t—
И-» 
t
Endi og'ma asimptotalami izlaymiz: k=  lim  — =  цт  
eI/x=e°=\,
* “ ► ± 0 0
 
X  
X - * ± r J l
eu ,-\
b=  lim  (y-kx)= lim  (xeI/x-x)= = lim  ~
—
=\l/x=z, x->±oc,
 z->0|=
Jf—>±oc• 
x
—►loo 
X-+±
 
1 
/  X
6* — 1
-lim ----= 1, shunday qilib 
y=x+
1  og'ma asimptota ekan.
r->0  -
8
-§. Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash
Funksiyaning xossalarini tekshirish va uning grafigini yasashda quyidagilami 
bajarish maqsadga muvofiq:
1)  Funksiyaning aniqlanish sohasi va uzilish nuqtalari topiladi; funksiyaning 
chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari (yoki unga mos limitlari) hisoblanadi.
2)  Funksiyaning toq-juftligi, davriyligi tekshiriladi.
3)  Funksiyaning nollari va ishora turg'unlik oraliqlari aniqlanadi.
4)  Asimptotalar topiladi.
217

---

5)  Funksiya  ekstremumga  tekshiriladi,  uning  monotonlik  intervallari 
aniqlaniladi.
6)  Funksiya grafigining burilish nuqtalari, qavariqlik va botiqlik intervallari 
topiladi.
8.45-misol. y=x(x2-l) funksiyani tekshiring va grafigini chizing.
Yechish.  1)  aniqlanish  sohasi  -  haqiqiy  sonlar  to‘plami.  Uzilish  nuqtalari 
yo‘q. Funksiyaning chegaraviy qiymatlan:  lim  x(x2-l)=+oc;  цт  x(x?-l)=-oo;
X
—Ж О  
X
—►
—on
2) funksiya davriy emas, toq funksiya;
3) funksiyaning uchta noli bor: x=0; x=-l; r= l. Ushbu x(x3-J) > 0 tengsizlikni 
yechamiz,  uning yechimi  (-1,0)и(1,+оо) to'plamdan  iborat.  Demak,  funksiya 
(- 
l,0)u(l,-H») to‘plamda musbat va (-oo,-l)kj(0,l) to'plamda manfiy qiymatlar qabul 
qiladi.
4) og'ma asimptotanmg burchak koeffitsientini topamiz:
У 
5
k=  lim
  — = = 
lim
  (л- 1 )=oo.
X
—КО 
X
 
ЛГ-КО
Demak,  og‘ma  asimptota  mavjud  emas.  Vertikal  asimtotalar  ham  mavjud 
emas (chunki, uzilish nuqtalari yo‘q).
5)  Funksiya  hosilasini  topamiz:  у - З х 2-!.  Hosilani  nolga  tenglashtirib
statsionar  nuqtalarini  topamiz:  у - 0  yoki  Зх2-1 =0,  bundan  х^-1/\/з,  х=\/у/з . 
Ushbu (54-a-rasm) sxemani chizamiz, va intervallar metodidan foydalanib funksiya 
hosilasining  ishoralarini  aniqlaymiz.  Bundan  funksiya  (-
00
,- 1Л/3) va (l/>/3 ,+cc) 
intervallarda monoton  o‘suvchi,  (—1/л/3,1/л/3)  intervalda monoton  kamayuvchi; 
x =  —1/V3  nuqtada  maksimumga,  x  =  l /л/З  nuqtada  minimumga  ega  ekanligi 
kelib  chiqadi.  Ekstremum  nuqtalarida  funksiya  qiymatlarini  hisoblaymiz:  agar 
Xmax  = —l /л/З  bo‘Isa,  u  holda  ymax  =  2/(3\/3);  agar  xmin  =  l /л/З  bo'lsa,  u 
holda ymin  = —2/(Зл/3) bo'ladi.
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y " — 6x.  Ikkinchi tartibli hosilani nolga 
tenglashtirib y ”=6x=Q, x=0 ekanligini topamiz.  Sxemani  (54-b-rasm) chizamiz va
218

---

hosil  bo‘ lgan  intervallarda  ikkinchi  tartibli  hosila ishoralarini  aniqlaymiz.  Bundan 
x=0 nuqtada bunlish mavjud,  (-oo;0) da funksiya grafigi  qavariq, (0; +
00
)  da botiq 
ekanligini topamiz. Burilish nuqtasi ordinatasini topamiz: y(0)  =  0.
Funksiya grafigi 54-c-rasmda keltirilgan.
y'-O 
y'-O
54-rasm
8.46-misol. у = V4 + V4 — x funksiyani tekshiring va grafigini chizing. 
Yechish.  1)  Aniqlanish  sohasi  -  [0,4]  kesma.  Funksiyaning  chegaraviy 
qiymatlarini topamiz:  agar x  = 0  bo‘lsa,  u holda у =  2; agar x = 4 boMsa, у = 2. 
Funksiyaning uzilish nuqtalari yo‘q.
2) Funksiya toq ham, juft ham emas, davriy ham emas.
3) funksiyaning nollari yo‘q,
4) Og‘ma asimp to talari yo‘q, chunki aniqlanish sohasi kesmadan iborat.
5) Hosilasini topamiz:  y'- .^4 ~ * ~ л x
2yjx • V4 — x
Hosilani  nolga tenglashtirib,  kritik  (statsionar) nuqtani  topamiz:  x - 2 .   55- 
rasmdagi  sxemani  chizamiz.  Bundan  funksiya  (0,2)  intervalda  o‘suvchi,  (2,4) 
intervalda  kamayuvchi, x =   2 nuqtada  funksiya  maksimumga  erishishi  kelib
chiqadi. Maksimum nuqtasining ordinatasi 
ymax=2 \f2 .
219

---

У'
+  У-О 
.
о
4
6) 
Ikkinchi  tartibli  hosilani 
topamiz:
1  (4 -  x / /2 + x3/2
>  - 4  
^ ( A - Xr
  ' 
(°'4)
intervalda  ikkinchi  tartibli  hosila 
manfiy, 
demak 
bu 
intervalda 
funksiya grafigi qavariq bo'ladi.
Funksiya  grafigi  55-rasmda 
chizilgan. 
Shuni 
aytib 
o‘tish 
kerakki,  lim л! = +oc,
x->+0
lim j/ = —oci 
boiganligi
i ->4-0
sababli,  funksiya  grafigi  (0,2) 
nuqtada ordinatalar o'qiga, (4,2) nuqtadax=4 to‘g‘ri chiziqqa urinadi. 
rasm
8.47-misol. 
у - X е.
 
funksiyani  tekshiring  va 
grafigini chizing.
Yechish.  Awal  funksiyani  quyidagicha 
yozib olamiz: y=x(=exInx.
1) 
funksiyaning 
aniqlanish 
sohasi 
barcha  musbat  sonlar  to'plami. 
Chegaraviy 
qiymatlari: 
цт  ex!ra=\, 
Um  exInx=+oo.  Uzilish
x
—►O-f- 
дг-^ч-ос
nuqtalari yo‘q.
2)  Funksiya juft  ham,  toq  ham,  davriy  ham
emas.
3) Funksiyaning nollari mavjud emas.
55-
4) Og'ma asimptotasini izlaymiz: k=  Um  --- =+<», demak og'ma asimptota
x
yo  q.
220

---

5)  Hosilasini  topamiz: 
y ’=xx(lnx^l).
 
y'=0  tenglamadan 
x=e'1
.  funksiya 
(0,1/e)  intervalda  kamayuvchi,  (1 /e ,+
00
)  intervalda  o‘suvchi  boMadi. 
x
 
= e-1 
nuqtada funksiya minimumga ega, uning ordinatasi 
ymin
 
= 0,692.
6)  Ikkinchi  tartibli  hosilani  topamiz: у ’ 
,=x3C
((lnx+J)2+l/x).
 
Ikkinchi  tartibli 
hosila (0, +
00
) intervalda musbat, demak funksiya bu intervalda botiq.
Funksiyaning x=0 nuqta atrofida tekshiramiz.
limy - \mxx(lnx+l)=-oo,  bundan  funksiya grafigi  (0,1) nuqtada ordinatalar
x-M)+ 
x-+Q+ 
\
 
/
 
-1
o‘qiga urinishi kelib chiqadi.
Funksiya grafigi 56-rasmda berilgan.
8.47-misol. 
f(x)=x+ln(x2-l)
 
funksiyani toMa tekshiring va grafigini chizing.
Yechish.  1)  Funksiya 
x2 
- 1  >  0,  ya’ni  (-
00
;- 1 )  va  (1; +
00
)  oraliqlarda 
aniqlangan va uzluksiz. Funksiyaning chegaraviy qiymatlarini izlaymiz:
lim  f(x)=  lim  (x+ln(Х*-1))=*-ао;  Цт  f(x)= Цт  (x+ln(x2-l))=-oc.
x-*—1—0 
x-t— 1—0 
x-»l+0 
r —»l+0
Demak, funksiya grafigi ikkita 
x 
=
—l v a x  =  l
 
vertikal asimptotalargaega.
2)  funksiya  toq  ham,  juft  ham, 
davriy ham emas.
3)  funksiya  (—
00
, —1)  intervalda 
manfiy,  (1, +
00
)  intervalda  yagona  noli 
mavjud,  uni  topish  uchun  taqribiy 
hisoblash  metodlandan  foydalaniladi, 
natijada 
x0
 
»   1Д5 
ekanligini 
aniqlashimiz  mumkin.  Demak,  funksiya 
(1; 1Д5) intervalda manfiy,  (1,15, +
00
) oraliqda musbat.
4) Og‘ma asimptotalarini izlaymiz:
X  
x-*±
X
demak og‘ma asimptota mavjud emas.
57-rasm
k=  lim 
lim  (1+—— -- — )-l, 
b= lim  (y-kx)=  lim  ln(X"M)=+oo,
221

---

5) Funksiya hosilasi у'  -  1 + 2 х /(х г - 1) funksiyaning aniqlanish sohasida 
mavjud, shu sababli uning kritik nuqtalari faqat statsionar nuqtalardan iborat bo'ladi. 
Bunda y’ — 0  tenglama yechimlari  xt  =  — 1 — л/2  va x2  = — 1  + л/2  bo'lib,  x2  = 
—1 + л/2  funksiyaning  aniqlanish  sohasiga  tegishli  emas.  Shunday  qilib,  yagona 
kritik  nuqta  mavjud  va  (—oo;—1)  oraliqqa  tegishli.  (l;+oo)  oraliqda  y‘ > 0  va 
funksiya  o'suvchi  bo'ladi.  xx  =  —1 — л/2  nuqtada  maksimum  mavjud.  Uning 
ordinatasi / ( —1 — л/2)  = — 1 — л/2 + ln(2 + 2\fT)  «   —0,84 ga teng.
6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y "  =  — 
Bundan y" < 0, demak 
grafik qavariq.  Funksiya grafigi 57-rasmda berilgan.