|
7.1.
Vertikal asimptotalar.
Faraz
qilaylik, a nuqtadagi bir tomonli limitlaming
kamida biri cheksizga teng bo'lsin. U holda
y=f(x) egri chiziqdagi M(x,y) nuqta x—>a da
koordinatalar boshidan cheksiz uzoqlashadi,
shu nuqtadan x=a to'g'ri chiziqqacha bo'lgan
51-rasm
masofa MN=|x-a| nolga intiladi. Demak, ta’rifga ko'rax=a to'g'ri chiziqy=f(x) egri
chiziqning (funksiya grafigining) vertikal asimptotasi bo'ladi.
Ravshanki, haqiqiy sonlar to'plamida uzluksiz bo'lgan funksiyalar uchun
vertikal asimptota mavjud emas. Vertikal asimptota faqat ikkinchi tur uzilish
nuqtalarida bo'lishi mumkin.
213
8.41-misol Ushbu funksiyaning f(x)=
toping.
Yechish. Funksiyaning aniqlanish
sohasi,
ravshanki
jc
2-
4=0
tenglama
ildizlaridan boshqa barcha haqiqiy sonlar
to'plamidan iborat.
Bu nuqtalarda funksiya ikkinchi tur
x
+ 9x
x2 - 4
vertikal asimptotaiarini
uzilishga ega. Haqiqatan ham lim
*-►2-0
X
— 4
x +9x__. . ,
x +9x
lim —r---
— н ю ,
hm
— ------
*-►2+0
x
— 4
*->—2-0
X
— 4
lim
9x
=+ oo,
demak x -2 va
-2+0 x2 - 4
52-rasm
jc
= 2
to'g'ri chiziqlar vertikal asimptota bo'ladi (52-rasm)
7.2. Og‘ma asimptota. Og‘ma
asimptota
tenglamasini
y=kx+b
ko'rinishda izlaymiz. Bir xil abssissali
egri chiziq ordinatasi va asimptota
ordinatasi orasidagi masofa
jc
- > +
oo
yoki x—►-oo da nolga intilishini
ko'rsatamiz.
Faraz qilaylik, M vaN abssissasi
jc
ga teng bo'lgan egri chiziqdagi
53-rasm
va asimptotadagi nuqtalar, (53-rasm) MP esa M nuqtadan asimptotagacha bo'lgan
masofa, a (a?4t/2) asimptotaning Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan hosil qilgan
burchagi bo'lsin. U holda AMNP uchburchakdan MP=MNcosa, bundan esa
MN=MP/cosa
i\
У
a
N У р
0
y\ZL
X
У
x
214
tenglikka ega boMamiz. Bu tenglikdan, agar M P nolga intilsa, u holda M N ham nolga
intilishi, va aksincha, agar M N nolga intilsa, u holda A/P nolga intilishi kelib chiqadi.
Shunday qilib, agar x-H-oo yoki x-> -oo da f(x)-kx-b ayirma nolga intilsa, u
holda_у=Ах+6 to‘g‘ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining asimptotasi bo‘lar ekan.
Bundan
Hm
(f(x)-kx-b)=0 shart y=kx+b to‘g‘ri chiziqning y=f(x) funksiya
grafigining og‘ma asimptotasi boMishi uchun zaruriy va yetarli shart ekanligi kelib
chiqadi.
Xususan, y=b gorizontal asimptota boMishi uchun iim(f(x)-b)=0, ya’ni цт
дг-^со
Г-+О0
f(x)=b shartning bajarilishi zarur va yetarli.
Amalda og‘ma asimptotalami
topish uchun quyidagi teoremadan
foydalaniladi.
8.42-teorema. y=f(x) funksiya grafigi y=kx+b og‘ma asimptotaga ega
boMishi uchun
f ( x )
к —lim ---- va b — lim ( f ( x )—kx)
X-*»
X
x-w
chekli limitlaming mavjud boMishi zarur va yetarli.
Isbot. 0 Zaniriyligi. y=kx+b to‘g‘ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining x-*»
dagi asimptotasi boMsin, ya’ni
lim
(f(x)-kx-b)= 0. U holda f(x)-kx-b =a(x) tenglik
ДГ-*»
o‘rinli, bu yerda a(x) x-xx>da cheksiz kichik funksiya. So‘ngi tenglikni quyidagjcha
yozib olish mumkin: f(x)=kx+b+a(x). Demak,
/• f ( x) i /1
b a ( x) \
,
lim ----- lim (k + - +---- )-k, h m ( f (x )- k x ) = lim (b+a(x))=b
X-*co
X
X-*<*>
X
X
x-*oo
x
—>00
tengliklar o‘rinli boMadi.
f ( x)
Yetarliligi. Aytaylik, к = lim ---- va b= um ( f ( X)- k x ) chekli limitlar
X
x
-
m
mavjud boMsin. So'ngi
hm
(f(x)-kx)=b tenglikni quyidagjcha yozib olish mumkin:
X —
K>0
f(x)-kx=b+/3(x), bu yerda P(x) x-teo da cheksiz kichik funksiya. Demak, f(x)-kx-
215
b p(x), ya’ni Пт (f(x)-kx-b)=0. Bu esa y=kx+b to‘g‘ri chiziq y=f(x) funksiya
X
—КО
grafigining x-*oc dagi asimptotasi ekanligini bildiradi. ♦
8.43-misol Ushbu f ( x ) = xln(e + —) funksiyaning asimptotalarini toping.
x
Y e c h ish .
Awal bu funksiyainng aniqlanish sohasini topamiz. Buning uchun
e + - > 0 tengsizlikni yechib, D (v) = (-oo;--)u(0;oo) ni hosil qilamiz.
x
e
Endi chegaraviy nuqtalardagi funksiya holatini aniqlaymiz.
lim x ln(e + —) = -oo, x—»+0 dagi limitni hisoblashda Lopital qoidasidan
*■
->— о
x
e
—
( ~ >
i
i
2
j
ln(e + - )
e + -
foydalanamiz: lim xln(e + —)= lim ---- — = lim -- ------ = 0.
дг-н-0
x
x-M-0
1
x-m-0
1
Bulardan ko‘rinadiki, berilgan egri chiziqning x = — vertikal asimptotasi
e
mavjud.
Endi og‘ma asimptotalar mavjudligini tekshiramiz.
к = lim
= lim ln(e + - ) = 1, b- lim (f(x )- k x )- lim x(ln(e + -)-\)
X-*C
X
*-**>
X
X~*ac
X
1
1 '
г '
ln(e + -)-\
e + -
x
= = lim ---- ---- = lim --- —
дг-ио
e
Demak, grafikning у = x + — og‘ma asimptotasi mavjud.
e
2x
8.44-misol Asimptotalami toping, a) y=2x+----, b) у =xe,/x
x - 3
216
Do'stlaringiz bilan baham: |
