T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

+ 
C2)  =
 
(F O ) 
± 
C(x)) 
+ (Cj  ± 
C2)
Ammo,  F(x) ± G(x)  funksiya f(x ) ± g{x)  ning  boshlangMch  funksiyasi, 
chunki  (F(x) ± G(x))'  =  F'(x) ± G'(x)  =  f ( x ) ± g(x),  Cx  ± C2  esa  -  ixtiyoriy
221

---

ikkita  o ‘zgarmas  sonlaming  algebraik  yigMndisi-  yana  ixtiyoriy  o'zgarm as  son 
boMadi.
Shu  sababli 
(F (x)
  ±   G (x ))  +  
(Ct  ±
  C2)  ifoda 
f ( x ) ± g ( x )
  ning  barcha 
boshlangMch funksiyalarmi  beradi,  y a’ni  /
(J (x )
  ±  
g (x )) d x
 ga teng boMadi.  ♦
Bu xossani  chekli  sondagi  funksiyalar uchun  ham  isbotlash  mumkin.  Buning 
uchun  matematik  induksiya metodidan  foydalanish  yetarli  (9-34-masala).
9.12-izoh.
 Integrallami topishda 
C/±C
2
 o'm iga 
С
 yoziladi.
Masalan. 
J  
(cos 
x
 
+ 
Зх2 )ойс = 
J  
cos 
xdx
 
+  f 
3x~dx
 =  sin 
x 
+
 
x3 
+ 
С
.
9.13-xossa.
  Agar 
F (x
)  funksiya 
f ( x )
  ning  boshlangMch  funksiyasi  boMsa,  u 
holda  /  
f ( a x
  +  
b )d x   =   ~ F (ax
  +  
b)
  +  
С,
  (а  
Ф
  0)  tenglik o'rinli  boMadi.
Isbot. 
0 
Tenglikning  o'ng  tomonining  hosilasi  integral  ostidagi  funksiyaga
teng  ekanligini  ko'rsatish  yetarli.  Haqiqatan  ham,  ^ F (cu i:  +  b)^ 
=  ^ (F (a x  +
b
))  =  
f ( a x
  4- 
b).
♦
9.14-xossa.
  (integrallash  formulasining  invariantligi).  Agar  integrallash 
formulasida 
integrallash 
o ‘zgaruvchisini 
shu 
o'zgaruvchining 
istalgan 
differensiallanuvchi  funksiyasi  bilan  almashtirsak  integrallash formulasining shakli 
o'zgarmaydi, 
ya’ni 
agar 
J  /  (x)tfx =  
F(x)
 + 
С
 
va 
и
 
funksiya  x 
ning
differensiallanuvchi  funksiyasi  boMsa,  u holda 
J 
f(u )d u
 =  
F(u)
 + 
С
  boMadi.
Isbot. 
0  
Birinchi 
tartibli 
differensialning 
invariantlik 
formasidan 
foydalanamiz.  Bunga  ko'ra,  agar 
dF(x)=F (x)dx
  va 
u=u(x)
  differensiallanuvchi 
funksiya  bo'lsa,  u  holda 
dF(u)=F’(u)du
  boMadi. 
j  f(u )d u  = F(u) + С
  ekanligini
isbotlaymiz.  Buning uchun so'ngi tenglikning ikkala tomonidan differensial olamiz: 
d ( j/( u ) d u )  = f(u )d u , 
d(F (u) + C )= F \u )d u  = f(u )du .
Bu  differensiallaming  tengligidan  9.14  -   xossaning  o'rinli  ekanligi  kelib 
chiqadi.♦
228

---

3-§.  Asosiy integrallar jadvali
Yuqorida  isbotlangan  aniqmas  in tegratin g  sodda  xossalari  va  aniqmas 
integrallar  jadvali  birgalikda  integrallami  hisoblashning  asosiy  qoidalarini 
aniqlaydi.  Integrallash  amali  differensiallash  amaliga  teskari  amal  boMganligi 
sababli, quyida keltinladigan formulalaming ko‘pchiligini hosilalar jadvalidan hosil 
qilish  mumkin.
Quyida asosiy aniqmas integrallar jadvalini  keltiramiz.  Bunda har bir formula 
integral ostidagi  funksiyalaming aniqlanish  sohasida qaraladi.
1-