Ozbekiston respublikasi oliy va

хле P  to'plamning aniq yuqori chegarasi deyiladi va sup{xn} = i /
 
kabi yoziladi.
1.  y x e R   uchun xn < M tengsizlik o ‘rinli bo‘lsa.
2 .V  £  > 0  uchun shunday  3 N n >   N (e)  bo‘gandaM - s   < x N  <  M.
 
Ta’rif. m chekli son uchun quyidagi ikki shart bajarilsa u holda m soni
\f x e  R  to'plamning  aniq  quyi  chegarasi  deyiladi  va  inf {xn}=m  kabi
 
yoziladi.
1.  \ / x s R   uchun xn >m  tengsizlik o ‘rinli bo‘Isa.
2. 
V e 
> 0  uchun shunday 
3 
N  n >  N(e)  bo'ganda  m <, xN  < m  + e.
1 - misol.  { 2 - ^ }   ,  {Зл+З}  ketma-ketliklarning  aniq  yuqori
chegaralari  quyidagicha  yoziladi.  sup{2— 
} = 2,  sup{3/j+3}=<»,
n
inf  {2“ -~}=l  inf{3«+3}=6  .
2 - misol.  '#={1,2,3...и}  bo'lsa  s u
p
,  inf{7V}=l  bo'ladi.
3.  Monoton  ketma-ketliklar
Ta’rif.  Agar  {xn}  ketma-ketlikning  hadlari  quyidagi
251

---

х ,< х 2< х 3< . 
< Х П<  
.
 
(х,  <Х2  <  Х3  <  .  .  .  <  Хп  <  .  .  .  )
tengsizliklarni  qanoatlantirsa,  ya’ni 
у  n e N
 uchun
x   < x
  ..  (x П
 
Л+1  ' 
П  n+\/
b o ‘lsa, 
{ x j
  o'suvchi  (qat’iy  o'suvchi)  ketma-ketlik  deyiladi.
Ta’rif.  Agar  {xJ  ketma-ketlikning  hadlari  quyidagi
 
x, > x
2
 > x
3
 > . . .  > 
x n > 
. . .  
(x,  > x
2
 > x
3
 >  . . .   > 
xn
 >  . . .  )
tengsizliklarni  qanoatlantirsa,  ya ’ni
  V 
n e N   uchun
x  > x  ..  (x >x  ..)
n
 
и+1  4 
n 
n+ \f
b o ‘Isa,  { x j   kamayuvchi  (q a t’iy  kamayuvchi)  ketma-ketlik  deyiladi.
0 ‘suvchi  (q a t’iy  o ‘suvchi),  kamayuvchi  (q at’iy  kamayuvchi)  ketma-
 
ketliklar  monoton  ketma-ketliklar  deyiladi.
w .  .  I I L , 
n
 
1 
2  3  4  
n
Misol. 
Ushbu  x„  = ---- - :  - ,  
. . . ,  ——  , . . .
и +  1 
2   3  4   5 
/2
 +  1
ketma-ketlikning  o‘suvchi  ekanini  ko'rsating.
Bu  ketma-ketlikning
_ 
n
 
~ 
1
xn  ~
 
> 
xn+i
  —
 
r^r 
n
 +1 
n
 + 2
hadlarini  olib,  xn+|- x n  ayirmani  qaraymiz:
_  я + l 
n
 
1
" +1
 
" 
n + 2
 
я + 
1
 
(я + 
1
)(л + 
2
)
1
 
n
Ravshanki, 
у  n eN
 uchun 
7
---- rr:---- zr > u-
’ 
(л + 1)(л + 2)
Demak,  V 
n eN
  da x
n+1
  -  
xn
  >0,  ya’ni 
xn  <
  х
л+1
  bo'ladi.  Bu  esa  berilgan 
ketma-ketlikning  o‘suvchi  (hatto  qat’iy  o'suvchi)  va  quyidan  chegaralangan 
ekanini  bildiradi.
Ta’rif. 
Ve  > 0,  ЗП
0
  bo‘lganda 
n>n0
ga  |x„  - a |  < s  o‘rinli  b o ‘lsa,  u 
holda 
a
  soni 
{xn}
  ning limiti deyiladi va  J™  {хл}=а kabi yoziladi.
3-§.  Hosila va  uning ustida  amallar bajarish  metodikasi
1.  Nyuton  masalasi
Masala. 
Moddiy nuqta to‘g‘ri chiziqli harakat qilib Mvaziyatda bo‘lganda 
harakatning  berilgan 
t
  paytdagi 
tezligini  toping.
252

---

и
м
AS
At
М,
Bu  masalani  yechish  uchun  quyidagicha  faraz  qilamiz.
Faraz  qilaylik,  moddiy  nuqta  to‘g‘ri  chiziqli  harakat  qilib, 
t
 vaqt  ichida 
s
  masofani  bosib  o‘tsin,  ya’ni 
О
  nuqtadan 
M
 nuqtaga  kelsin.
Agar 
t
  vaqtga  yana 
At
  vaqt  qo'shilsa, 
At
  vaqt  ichida  moddiy  nuqta  M, 
masofaga  keladi.  Ma’lumki,  bu  yerdagi 
s
  masofa 
t
  ning  funksiyasidir,  ya’ni 
t
 vaqt  ichida 
s(t)
  masofani  bosib  o‘tadi.  U  vaqtda 
OMt
  orasidagi  masofa  esa 
s(t+At)
  ga  bog‘liq  bo'ladi.  Agar  moddiy  nuqtani 
At
 vaqt  ichida  bosib  o‘tgan 
masofasini  topadigan  bo'lsak,  u 
AS
  = 
S(t+At)—S(t)
  bo‘ladi.
Moddiy  nuqtani 
At
 vaqt  ichida 
AS
  masofani  bosishi  uchun  harakatdagi
AS
o‘rtacha  tezligi  fizika  kursidan  ma’lumki, 
bo'ladi.  Nuqtaning 
t
vaqtdagi  tezligi  deb, 
At
  vaqt  oralig‘idagi  -0  o ‘rtacha  tezlikning 
At
  nolga 
intilgandagi  limitiga  aytiladi.
AS  =  S (t + A t ) - S ( t )
At  ~
Shuning  uchun
lim —  =  lim 
дг
-»0
 
At
 
л
/->0
At
S (t + A t ) - S ( t
) 
At
(
1
)
Yuqoridagi  savolning  javobi  (1)  dagi  limitni  hisoblashga  olib  keldi.
Leybnis  masalasi. 
Dekart  koordinatalar sistemasida berilgan 
y —f(x )
 
egri chizig‘ining ixtiyoriy nuqtasiga o ‘tkazilgan urinm aning absissa o ‘qi- 
ning m usbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagining tangensini topish 
masalasi  hosila tushunchasiga  olib  keladi.
AABC
  dan 
tg/3 =
AC 
Ax
f ( x  + A x ) -  f ( x )