Iv всероссийской научно-практической конференции (Омск, 4 июля 2017 г.) Омск 2017

Справочный материал по теореме Ролля 
Определение 
Примеры 
1
. Доказать, что при любых 
R
a
k
∈
(
k = 1, 2, …, n) функция 
1
( )
cos
n
k
k
f x
a
kx
=
=
∑
имеет хотя бы один корень в интервале 
(0, π). 
Решение. Так как 
Z
k
∈
∀
cos
kx – периодическая функция с 
периодом 2
π, то их линейная комбинация f(x) – также пе-
риодическая функция с тем же периодом. Поэтому доста-
точно доказать, что f(x) имеет нуль на отрезке [0; 2π]. Рас-
смотрим функцию 
1
( )
sin
n
k
k
a
g x
kx
k
=
=
∑
.
Так как 1) 
g(x) дифференцируема [0; 2π] и 
( )
( )
g x
f x
′
=
; 
2) 
g(0) = g(2π) = 0, то по теореме Ролля существует точка 
(0; 2 )
c
π
∈
, такая что 
( ) 0
g c
′
=
, а значит, и 
f(c)=0. 
Пусть функция 
f(x) непрерывна на 
отрезке [
a;b], дифференцируема во 
всех внутренних точках отрезка 
[
a;b] и f(a) = f(b) . 
Тогда
:
)
;
( b
а
∈
∃
ξ
f'(ξ) = 0. 
Геометрический смысл теоремы 
Ролля 
Найдется хотя бы одна точка, в ко-
торой касательная к графику функ-
ции будет параллельна оси абсцисс. 
Примеры применения теоремы: 
– установление числа коней алгеб-
раических уравнений; 
– доказательство неравенств. 
 
2
. Пусть 
f(x) – заданная функция, дифференцируемая на от-
резке [0, 1].
Доказать, что уравнение 
2
(
) ( ) (2
1) ( )
x x f x
x
f x
′
−
=
−
имеет 
хотя бы один корень. 
Решение. Перепишем уравнение в виде 
2
[(
) ( )]
0
x x f x ′
−
= . 
Функция 
2
( ) (
) ( )
g x
x x f x
=
−
на отрезке [0, 1] удовлетворя-
ет теореме Ролля. Поэтому 
(0, 1)
x
∃ ∈
такой, что 
( ) 0
g x
′
=
, 
что и требовалось доказать. 
При разборе примеров [2] из правого столбца табл. 2 обращается внимание курсантов 
на нестандартный ход решения: подбор первообразной для заданной функции и проверке ее 
на выполнение условий теоремы Ролля. Выбор данной задачи не случаен. Как правило, кур-
санты в поиске корня пытаются найти сумму ряда, что приводит в тупиковой ситуации. Ак-
центируется внимание курсантов на наличие в условии ключевой фразы в пользу выбора для 
решения теоремы Ролля: «установить (доказать) существование хотя бы одного корня». За-
дача интересна еще и тем, что для ее решения используются знания из различных тем (вве-

---

130
дение в анализ, производная, теория рядов). Таким образом, линейные связи между элемен-
тами знаний преобразуются в объемные.
На данном занятии целесообразно провести анализ 
условий теоремы Ролля с использованием иллюстративных 
контрпримеров. К примеру, можно предложить курсантам 
проверить выполнение условий теоремы для функции 
y = 1 –
|x|. График функции представлен на рис. 1.
Курсанты устанавливают, что данная функция не-
прерывна на отрезке [–1;1] и обращается в ноль на его 
концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная 
не равна нулю. 
Далее можно высветить на слайде графики несколь-
ких функций (рис. 2).
а 
б
в