Физика курси I

С =
А+Ъ.
Векторларни кўшиш к о м м у т а т и в л и к хусусиятига эга, яъни
С = А + В = В + А.
Масалан, моддий нукта (жисм) бир вактда иккита тўғри чизикли ҳаракатда 
01
ва 
02 
тезликлар билан иштирок этаётган бўлса, унинг натижавий тезлиги бу тезликларнинг 
вектор йиғиндисига тенг бўлади (айтайлик, минора тепасидан уфк текислиги 
йўналишида 
0
| тезлик билан отилган тош Ернинг тортиш кучи таъсирида маълум вакт 
ўтгандан кейин 
01
тезлик билан бир каторда тик (вертикал) йўналишда о2 тезлик-
ка хам эга бўлади). Қўшилувчи икки векторнинг модуллари ва улар орасидаги бурчак 
маълум бўлса, натижавий векторнинг киймати косинуслар теоремасига асосан 
топилади.
Векторларни кўшишда амалда у ч б у р ч а к у с у л и кўпрок кўлланилади. Бу 
усулда А ва В векторларни кўшиш учун биринчи векторнинг охирига ўзига параллел 
равишда кўчирилган иккинчи векторнинг боши жойлаштирилади. Биринчи векторнинг 
боши билан иккинчи векторнинг охирини туташтирувчи вектор натижавий векторга 
тенг бўлади, чунки бу натижавий вектор параллелограмм диагоналининг ўзгинасидир 
(1.7- расм).
Иккитадан_орти|с векторларни кўшишда, амалда куйидаги усулдан фойдаланила- 
ди: А, В, С, £) ва Е векторлар берилган бўлсин. Натижавий векторни топиш учун 
ўзига параллел кўчирилган хар бир векторнинг боши аввалги векторнинг охири билан 
туташтирилади. Натижада синик чизик ҳосил бўлади (1.8- расм). Биринчи векторничг 
бошидан охирги векторнинг охирнга ўтказилган О ва К нукталарни туташтирувчи 
М вектор натижавий векторга тенг бўлади, яъни:
М = А + В + С + Ъ + Е.
Натижавий векторнинг сон киймати ва йўналиши кўшилувчи векторларнинг кайси 
кетма-кетликда жойлаштшрилждига боғлик эмас. 
_
_
Ихтиёрий йўналган А ва В векторлар берилган бўлсин 
(1.9-расм). 
А ва В 
в е к т о р л а р н и н г а й и р м а с и деб шундай С векторга 
айтиладики, унинг В 
вектор билан йиғиндиси А векторга тенг бўлади:
А — В = С (яъни В + С = А).
20
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Векторни сонга кўпайтириш. Векторни бирор п сонга (яъни векторни бирор скаляр 
катталикка) к^пайтириш деганда мазкур векторнинг модулини шу сонга кўпайтириш 
тушунилади: В = пА. Ҳосил бўлган янги В векторнинг йўналиши п нинг ишорасига 
боғлик. Агар у мусбат ( п > 0 ) бўлса, В нинг йўналиши А билан бир хил, манфий 
( л < 0 ) бўлса, бу векторлар карама-карши йўналган бўлади. _
Векторни скалярга кўпайтириш коидасига кўра ихтиёрий А векторни куйидаги 
кўринишда ифодалаш мумкин:
А = А ё А
бунда А берилган векторнинг сон киймати; ёА — бирлик вектор дейилади ва унинг сон 
киймати бир бирликка тенг бўлиб, йўналиши Л бўйича йўналган. Бу формулани 1 /А 
га тенг скалярга кўпайтирсак, куйидагига эга бўламиз:
-
А 
вА~ А '
Бундан кўриниб турибдики, бирлик вектор ўлчамсиз катталикдир^
Векторнинг бирор йўналишга бўлган проекцияси. Берилган А вектор бирор 1 
йўналишдаги ўк билан а бурчак ташкил килсин (1.10- расм). Унинг шу йўналишга 
проекцияси 1.10-расмда кўрсатилгандек, А/ узунликка тенг бўлади ва куйидагича 
ифодаланади:
А /= А с о з а ,
бу ерда А / — векторнинг модули, а — берилгаи йўналиш билан вектор орасидаги 
бурчак. Бурчак ўткир ( с о в а > 0 ) бўлса, проекция мусбат бўлади ва аксинча, ўтмас 
( с о з а < 0 ) бўлса, проекция манфий бўлади. Векторнинг бирор йўналишга проекцияси 
ҳамма вакт скаляр катталикдир; унинг ишораси берилган йўналишга нисбатан 
векторнинг кандай йўналганини билдиради.
Векторларни кўпайтирнш. Векторлар бир-бирига икки хил усулда кўпайтирилади: 
а) векторни векторга вектор кўпайтириш, б) векторни векторга скаляр кўпайтириш. 
Иккита (Я ва В ) векторнинг скаляр кўпайтмаси деб шу векторларнинг модуллари ва 
улар орасидаги бурчак косинусининг кўпайтмасидан хосил бўлган скаляр катталикка 
айтилади:
. 
( Я - В ) = А В с о 5 а ёки Л-В = ЛВсо5а.
Бу формулани куйидагича ёзиш мумкин:
• 
( А - В ) = А п - В = А - В я ,
21
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бу ерда А„ — А нинг 
Ъ 
йўналиши бўйича олинган 
проекцияси; В п —
Ъ 
нинг 
йўналиши бўйича олинган проекцияси. Бундан куйидагига эга бўламиз:
А
Векторларнинг скаляр кўпайтмасидан шу хулоса келиб чикадики, векторнинг 
ўзини ўзига скаляр кўпайтмаси (бу ҳолда а = 0, с о з а = 1 ) шу вектор модулининг 
квадратига тенг, яъни
( А. А) = ( А 2) =
а
2
(1-8)
Иккита (А ва В) векторнинг вектор кўпайтмаси деб, куйидагича аникланадиган 
С векторга айтилади (икки векторнинг вектор кўпайтмаси, одатда, ўрта кавс ичига 
олинади); 
,
~С = (А-Ъ} 
ёки 
[АЪ} 
= АВь\па. п.  
(1.9)
Унинг модули С = ЛВ5ша. Бу ерда п — натижавий вектор (Ъ) 
йўналишидаги 
бирлик вектордир. С вектор 
А 
ва В векторлар жойлашган текисликка тик бўлиб, 
унинг йўналиши парма коидаси билан аникланади: парма дастасини А дан В га то- 
мон бурасак, унинг илгариланма ҳаракати Ъ векторнинг йўналишини кўрсатади 
(1.11-расм). С вектор сон жиҳатдан 
А 
ва В векторлардан тузилган параллело- 
граммнинг юзига тенг. Бу коидадан шу хулоса келиб чикадики, А ва 
Ъ 
векторлар- 
нинг ўринларини алмаштирсак, натижавий С векторнинг йўналиши карама-карши 
томонга ўзгаради, яъни:
\А-Ъ]= —(В-А}.
Шундай килиб, вектор кўпайтма ўрин алмаштириш хусусиятига эга эмас.
Векторларнинг вакт бўйича хосиласи. Бирор А вектор берилган бўлсин. Бу 
вектор вакт бўйича бирор конуният билан ўзгарса, мазкур вектордан вакт бўйича 
олинган биринчи тартибли ҳосила — й А / И ,  унинг ҳам сон киймати ҳамда йўналиши 
бўйича ўзгаришини ифодалайди.
Вектор катталикнинг бирор скаляр катталик (ф) га кўпайтмасидан вакт бўйича 
ҳосила олиш коидаси одатдаги икки скаляр кўпайтмадан ҳосила олиш коидаси 
кабидир. Масалан, 
А 
векторнинг скаляр катталик (ф) га кўпайтмасидан олинган 
ҳосила куйидагига тенг бўлади:
^-(гр-А) =(р-А + ц>-А, 
(1.10)
22
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бунда А ва ф — мазкур катталиклардан вакт бўйича олинган ҳосиланинг қискача 
ёзилиши. Худди шунингдек, А ва В вектордлп ■
• 
• 
' пайтмасидан вакт
бўйича олинган ҳосила
( 1. 11)
тарзида ифодаланади. Икки векторнинг вектор куна.л .ч.асидан вакт бўйича олинган 
ҳосила куйидагига тенг:
^ [ А - В \ = {
а
-В) + (А-Ъ]. 
(1.12)
Векторларни уларнинг коорднната ўкларидаги проекциялари оркалн ифодалаш.
Фазода берилган бирор 
~А 
векторнинг Декарт координата ўклари (X, У, 2) даги 
проекциялари мос равишда А х, А ц ва А г бўлса, уни шу проекциялар оркали куйидагича 
ифодалаш мумкин:
А = А Х7 + А у] + А гк, 
(1.13)
бу ерда Г, /в а £ — координата ўклари X, У, 2 бўйича йўналган бирлик векторларадр. Бу 
формуладаги ҳар бир кўшилувчи ҳад вектор катталикни ифодалагани учун А век- 
торни унинг ташкил этувчилари Аг А}, ва Ак оркали ҳам ифодалаш мумкин:
А = А , + 4 , + ^ .
(114)
1.12-расмда А векторнинг X, У ўклардаги проекциялари ва унинг шў ўклар бўйича 
ташкил этувчилари кўрсатилган (расмда 2 ўкига мос келувчи бирлик вектор 
(£) кўрсатилмаган, чунки у чизмага тик йўналган). I, / ва Я векторлар ўзаро тик 
йўналганлигини эътиборга олсак, вектор кўпайтма коидасига асосан куйидагига эга 
бўламиз:
['’• / ] = £
[/-*1=Г [*■(]=/; 
(I 15)
[Г-Г| = 0, [/-/| = 0, [М] = 0. 
(1.16)
Бирор векторнинг квадрати*берилган бўлса, бу ҳар доим векторнинг ўзига ўзини ска- 
ляр кўпайтмаси бўлади, яъни унинг модулининг квадратига тенгбўлади ((1.8) га к.):
(Г-Г)=<2, ( / - / ) = у 2, ( £ - %) =к 2. 
(1.17)
1.6- §. МОДДИЯ НУҚТАНИНГ ТУҒРИ ЧИЗИҚЛИ ҲАРАКАТИ