Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан ўзбекистон республикаси

U
t
U
r
z
r
r
z
r
2
2
2
, (5) 
bu yerda 

- sterjen materialining zichligi, 

- burchak tezlik. 
Sterjenning buralma tebranishlarini uning sirtiga ta‘sir etuvchi 
 
t
,
z
f
r

tashqi kuchlanish 
uyg‘otadi deb hisoblaymiz [1]. U holda sterjen sirtida ushbu chegaraviy shart o‘rinli bo‘ladi 
 
 
0
,
,
,
r
r
t
z
f
t
z
r
r





. (6) 
Boshlang‘ich shartlarni esa nolga teng deb hisoblaymiz. 
Agar sterjenning harakat tenglamalari (5) ga ko‘chishning (1) va kuchlanishlarning (3) 
ifodalarini qo‘ysak, soddalashtirishlardan so‘ng quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz 

























1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1






t
z
r
r
r
M
. (7) 
Ushbu tenglamani yechish uchun izlanuvchi funksiyani quyidagi integral almashtirish bilan 
tasvirlaymiz [4] 
 



1 2
0
l l
kz
pt
dpdk
e


, (8) 
bunda 
1
l
va 
2
l
- p va k kompleks tekislikdagi chegaralanmagan ochiq konturlar.
Izlanuvchi funksiya uchun (8) almashtirishni (7) tenglamaga qo‗llaymiz va quyidagi Bessel 
tenglamasiga ega bo‘lamiz
 
0
1
0
1
2
2
2











dr
d
r
dr
d
, (9) 
bu yerda 


2
2
2
1
0
2
k
p
M







;
 


p
R
M

 1
0

. 
Bu tenglamaning 
0

r
bo‘lganda chegaralangan umumiy yechimi 
 
 
r
BI


0
0
1

(10) 
kabi bo‘ladi, bunda 
0
I
- modifikatsiyalangan Bessel funksiyasi; 
B
- integrallash o‘zgarmasi [5].
Agar 

U
ko‘chishni ham (8) kabi ifodalasak va (10) yechimni hisobga olsak, (8) bo‘yicha
almashtirilgan ko‘chish uchun
 
 
r
BI
U



1
0


(11) 
ifodaga ega bo‘lamiz. 
Ko‘chishning (11) ifodasidagi Bessel funksiyasini 
r
radial koordinata bo‘yicha qatorga 
yoyamiz 
 
 










0
1
2
2
2
0
!
1
!
2
n
n
n
n
n
r
B
U


. (12) 
Ushbu ifodada buralma ko‘chishning bosh qismini 
 
B
U
2
0
2
1



(13)
kabi belgilab olamiz. Bu ifoda (12) qatorning birinchi hadi ekanligini ko‘rish qiyin emas. Bundan 
quyidagini hosil qilamiz 
 
 
 
p
k
U
r
U
,
0
0
0


. (14) 
Integrallash o‘zgarmasi 
B
ni (13) tenglikdan topib (12) formulaga qo‘yamiz. Natijada 
 
0

U
ko‘chisning 
 
0
U
funksiya orqali ifodasini hosil qilamiz 
 


 


 






0
0
2
1
2
0
!
1
!
2
2
,
,
n
n
n
U
n
n
r
p
k
r
U


. (15) 

---

82 
Agar (7) chegaraviy shartda 


r
kuchlanish va 
 
t
,
z
f
r

tashqi ta‘sir funksiyasini ham (8) kabi 
tasvirlab, (10) ni e‘tiborga olsak 
 
 



r
f
M
B
r
I
1
0
2
2
1



(16) 
tenglikka ega bo‘lamiz. 
Chegaraviy shartning (16) ifodasidagi 
2
I
funksiyani r bo‘yicha qatorga yoyib, hamda 
B
integrallash o‘zgarmasi o‘rniga uning (13) ifodasini qo‘yib quyidagini hosil qilamiz 
 


 
 
 








0
0
1
0
0
2
2
2
2
!
2
!
2
2
n
r
n
n
f
M
U
n
n
r


. (17) 
Endi (17) tenglamada teskari almashtirishni amalga oshirsak 
U
ga nisbatan tenglamaga kelamiz 
 


 








0
1
1
2
2
2
!
2
!
2
2
n
r
n
n
f
M
U
n
n
r


. (18) 
Yuqorida 


2
2
2
1
0
2
k
p
M







kabi belgilangan ifodaga asosan 
 
t
,
z
o‘zgaruvchilarda 
n
2

operatorning quyidagiga tengligini ko‘rish qiyin emas 
,...
2
,
1
,
2
2
2
2
2
1
2






















n
z
t
M
n
n


. (19) 
Hosil qilingan (18) tenglama (19) operatorga mos holda ko‘chishning bosh qismi 
U
ga nisbatan 
tartibi cheksiz katta bo‘lgan integro-differensial tenglamadir. Bu tenglama simmetriya o‘qi atrofida 
o‘zgarmas burchak tezlik bilan aylanuvchi doiraviy qovushoq-elastik sterjenning buralma 
tebranishlarining umumiy tenglamasidan iboratdir. 
Ko‘chishning (15) ifodasida teskari integral almashtirishni bajarib, 
n
2

operatorning (19) 
ko‘rinishini hisobga olgan holda buralma ko‘chish uchun quyidagi formulani hosil qilamiz 


 








0
2
1
2
!
1
!
2
2
,
,
n
n
n
U
n
n
r
t
z
r
U


. (20) 
Kuchlanishlarni kiritilgan buralma ko‘chishning bosh qismi – U funksiya orqali hisoblash 
formulalarini chiqarish uchun bajarilgan amallarni (3) formulalarga ko‘ra aniqlanuvchi 


r
va 


z
kuchlanishlar uchun ham bajarib, ularni (18) tenglamaning yechimi orqali ifodalaymiz 


 









0
1
2
2
2
!
2
!
2
2
,
,
n
n
n
r
U
n
n
r
M
t
z
r



; 


 










0
2
1
2
!
1
!
2
2
,
,
n
n
n
z
U
z
n
n
r
M
t
z
r



. (21)
Ko‘chishlarning (20) va kuchlanishlarning (21) formulalari yordamida, vaqtning ixtiyoriy payti 
uchun, 
aylanuvchi 
qovushoq-elastik 
sterjenning 
ixtiyoriy 
kesimidagi 
kuchlanganlik-
deformatsiyalanganlik holatini (18) ning umumiy yechimi orqali talab qilingan aniqlikda topish 
mumkin. 
Yuqorida keltirib chiqarilgan (18) tenglamaning darajasi cheksiz katta bo‘lganligi sababli 
amaliy masalalarni yechish uchun undagi hadlarning sonini cheklash, ya‘ni uning tarkibidagi cheksiz 
qatorning birinchi, ikkinchi va hokazo hadlari bilan chegaralanish kerak bo‘ladi. Qatorning chekli 
sondagi hadlari bilan chegaralanish mumkin ekanligi uning yaqinlashuvchi ekanligidan kelib chiqadi. 
Ushbu mulohazaning o‘rinli ekanligi [1] monografiyada doiraviy silindrik qatlamlar uchun 
isbotlangan. Doiraviy sterjen doiraviy silindrik qatlamning ichki radiusi nolga teng bo‘lgan xususiy 
holi bo‘lganligidan bu tasdiq sterjen uchun ham o‘rinlidir. Shu sababli agar (18) da 
0

n
deb olsak, 
quyidagi ikkinchi tartibli tenglamaga ega bo‘lamiz 
 


r
f
M
U
z
t
M
r
1
2
2
2
2
2
1
2
0
4






















. (22) 
Agar 
1

n
deb olsak to‘rtinchi tartibli tebranish tenglamasiga ega bo‘lamiz 































U
z
z
M
z
t
M
M
t
M
t
M
r
4
4
2
2
2
1
2
2
4
1
4
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
0
2
2
2
48






---

83 
 


r
f
M
U
z
t
M
r
1
2
2
2
2
2
1
2
0
4

























. (23) 
Shuningdek sterjendagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini ifodalovchi 
ko‘chishning (20) va kuchlanishlarning (21) formulalarida ham yuqoridagi kabi cheklanishlarni 
qo‘llasak, ushbu 
0

n
da 
1

n
da 
U
r
U
0


;
U
r
rU
U
2
3
16




(24) 












2
2
2
2
2
4
z
U
M
t
U
r
r


;








U
r
U
r
M
r
2
2
4
2
2
48
4




; 
z
U
rM
z





;












z
U
r
z
U
r
M
z
2
3
8



formulalarga ega bo‘lamiz. 
Oxirgi formulalar sterjenning buralma tebranishlari to‘g‘risida amaliy masalalar yechishda 
chegaraviy shartlarni shakllantirishga, shuningdek (22) yoki (23) tenglamalarning yechimlari orqali 
kuchlanishlarni hisoblashga imkon yaratadi. 
Keltirib chiqarilgan (22) va (23) tenglamalar 
0


bo‘lgan xususiy holda [6] monografiyadagi 
qovushoq-elastik sterjenning buralma tebranishlarning klassik va aniqlashtirilgan tenglamalari bilan 
mos tushadi. Qovushoq-elastik sterjenning buralma tebranishlariuchun taklif etilayotgan ushbu 
tenglamalarning shu vaqtgacha ma‘lum bo‘lgan tenglamalardan farqi sterjenning aylanish effektini, 
aylanish inersiyasi va ko‘ndalang siljish deformatsiyasi ta‘sirlarini aylanish effektining tebranishlarga 
ta‘siri bilan birgalikda hisobga olishi, hamda sterjenning ixtiyoriy kesimidagi kuchlanishlar va 
ko‘chishlar maydonlarini koordinatalar bo‘yicha vaqtning istalgan momenti uchun talab etilgan 
aniqlikda hisoblash algoritmining mavjudligidir. 
Аdabiyotlar: 
1. Худойназаров Х. Х. Нестационарное взаимодействие цилиндрических оболочек и 
стержней с деформируемой средой.-Ташкент: Изд. им Абу Али ибн Сино. 2003.-326 с. 
2. Кристенсен Р. Введение в теорию вякоупругости.-М.: Изд-во ―Мир‖.1974. - 340 с. 
3. Rand Omri and Stavsky Yehuda. Free Vibrations of Spinning Composite Cylindrical Shells. 
International Journal Solids and Structures. Vol. 28. No 7. 1991. pp. 831–843. 
4. Снеддон И. Преобразование Фурье.– М.: Иностранная литература. 1955. - 667 с. 
5. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. – Москва: 
Наука. 1978. – 320 с. 
6. Филиппов И. Г., Чебан В. Г. Математичаская теория колебаний упругих и вязкоупругих 
пластин и стержней. – Кишинев: Штиинца. 1988. – 190 с.