Parametrga bog’liq xosmas integrallar”

I Bob Parametirga bog’liq Xosmas Integrallar
1-tur xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi

Biz 1-kursda aniq integralni o`rganish jarayonida unga 2 ta shart qo`ydik:

1. 
   a va lar chekli sonlar,
   
2. 
   da berilgan funksiya shu kesmada chegaralangan.
   

Endi biz aniq integralni quyidagi umumiyroq hollarda o`rganamiz.
1-hol. Oraliq cheksiz, lekin funksiya chegaralangan,
2-hol. Oraliq chekli, lekin funksiya chegaralanmagan.
1-holda hosil bo`lgan integralga I –tur xosmas integral, 2-holda hosil bo`lgan integralga esa II-tur xosmas integral deyiladi.
Birinchi va ikkinchi tur xosmas integrallar va ularning xossalarini alohida-alohida va batafsilroq o`rganamiz.
1⁰. Chegaralari cheksiz xosmas integrallar (I-tur xosmas integrallar)
Integrallash oralig`i cheksiz bo`lgan holni ko`raylik. Bunda 3 ta vaziyat yuz berishi mumkin:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Aniqlik uchun 1-vaziyatni to`liq ko`rib chiqaylik.
Faraz qilaylik, funksiya nurda aniqlangan bo`lib, soni uchun mavjud bo`lsin.
(1)
deb belgilaymiz.
1-Ta`rif. Agar ushbu

limit mavjud va chekli bo`lsa, uni funksiyaning oraliqdagi I-tur xosmas integrali deyiladi va u
(2)
kabi belgilanadi hamda (2)-xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deb ataladi.
Shunday qilib,

Qolgan 2 ta vaziyatda ham I-tur xosmas integral shunga o`xshash ta`riflanadi:


Agar va xosmas integrallar yaqinlashsa, u holda xosmas integral ham yaqinlashadi va

bo`ladi.
Misol. ( va haqiqiy son) xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring.
olamiz

bo`lsa bo`lib, integral yaqinlashadi. bo`lsa bo`lib, integral uzoqlashadi.
Shunday qilib,

1-Teorema. (Koshi kriteriyasi). (2)-xosmas integralning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarlidir: uchun va lar uchun

bo`ladi.
Ko`p hollarda Koshi shartini tekshirish qiyin bo`ladi. Shuning uchun tekshirish oson bo`lgan alomatlarni keltiramiz.
Bundan buyon biz har doim uchun mavjud deb faraz qilamiz.
2-Teorema. (Umumiy taqqoslash alomati). Faraz qilaylik, nurda

bo`lib, xosmas integral yaqinlashsin. Unda xosmas integral ham yaqinlashadi.
3-Teorema. (Xususiy taqqoslash alomati). Faraz qilaylik nurda va
bo`lsin. U holda xosmas integral yaqinlashadi. Agar :

bo`lib, bo`lsa, xosmas integral uzoqlashadi.
2-Ta`rif. Agar yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda xosmas integral absolut yaqinlashuvchi deyiladi.
2-teoremaga ko`ra absolut yaqinlashuvchi integral oddiy ma`noda ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
3-Ta`rif. Agar yaqinlashib uzoqlashsa, xosmas integral shartli yaqinlashuvchi deyiladi.
4-Teorema. va funksiyalar oraliqda aniqlangan bo`lib, va bo`lsin.
Agar da

bo`lsa, va xosmas integrallar yoki bir vaqtda yaqinlashadi yoki uzoqlashadi.
5-Teorema. va funksiyalar oraliqda aniqlangan bo`lib, ular quyidagi shartlarni bajarsin:
(Abel alomati) a) yaqinlashuvchi,
b) funksiya da monoton va
chegaralangan;
(Dirixle alomati) a)
b) funksiya da monoton va
.
U holda xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
Misollar. 1) xosmas integral yaqinlashishga tekshirilsin.
deb olib, deb belgilaymiz va Dirixle alomatining shartlarini tekshiramiz:

1. 
   va chegaralangan;
   
2. 
   va
   

yaqinlashuvchi.
2) xosmas integralning shartli yaqinlashuvchi ekanligi ko`rsatilsin.
Agar va desak, Dirixle alomatiga ko`ra yaqinlashuvchi ekanligini hosil qilamiz.
Endi

xosmas integralning uzoqlashuvchi ekanligini ko`rsatamiz.

Unda uchun

bo`ladi. Ma`lumki,
uzoqlashuvchi va -Dirixle alomatiga ko`ra yaqinlashuvchi. Shularga asosan oxirga tengsizlikda da limitga o`tib, xosmas integralning uzoqlashuvchiligini topamiz. integral shartli yaqinlashuvchi.
Eslatma: Birinchi tur xosmas integrallarda ham ma`lum shartlar bajarilganda aniq integrallarni hisoblashda qo`llaniladigan o`zgaruvchilarni almashtirish, Nyuton-Leybnis, bo`laklab integrallash va shu kabi boshqa formulalar o`rinli bo`ladi. Ularning shartlarida va ifodalanishida printsipial farq bo`lmaganligi sababli biz ularga to`xtalmaymiz.