Parametrga bog’liq xosmas integrallar”

2.2 Xosmas integralning bosh qiymati
1-Ta`rif. Aytaylik, funksiya to`g`ri chiziqda aniqlangan bo`lib, undagi kesmada integrallanuvchi bo`lsin. Agar ushbu

limit mavjud va chekli bo`lsa, funksiya oraliqda Koshi ma`nosida integrallanuvchi deyiladi. Bu limitning qiymatiga esa funksiya xosmas integralining Koshi ma`nosidagi bosh qiymati deb ataladi va

kabi belgilanadi.
Demak,

Teorema. Agar funksiya toq bo`lsa, u holda u Koshi ma`nosida integrallanuvchi va uning bosh qiymati 0 ga teng bo`ladi. Agar funksiya juft bo`lsa, u Koshi ma`nosida integrallanuvchi bo`lishi uchun

xosmas integralning yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarli.
2-Ta`rif. Faraz qilaylik, funksiya kesmaning s nuqtasidan tashqari hamma nuqtalarida aniqlangan bo`lib, va ga qism bo`lgan kesmada integralanuvchi bo`lsin. U holda, agar

limit mavjud va chekli bo`lsa, funksiya kesmada Koshi ma`nosida integrallanuvchi deyiladi va bu limitning qiymatiga integralning Koshi ma`nosidagi bosh qiymati deb ataladi hamda u

kabi belgilanadi.
Misol. funksiya kesmada xosmas ma`noda integrallanuvchi emas, lekin Koshi ma`nosida integrallanuvchi ekanligi ko`rsatilsin.
Xosmas ma`noda integrallanuvchi emasligi ravshan. Koshi ma`nosida integrallanuvchi bo`lishini ko`rsatamiz.


4⁰. Parametrga bog`liq xos integrallar va ularning funksional xossalari
funksiya fazodagi biror aniqlangan va fiksirlangan uchun funktsiya o`zgaruvchining funksiyasi sifatida oraliqda integrallanuvchi bo`lsin.
Quyidagi
(4)
integralga parametrga bog`liq integral, u o`zgaruvchi esa parametr deyiladi.
Parametrga bog`liq integrallarda funksiyaning bir qator xossalari (limiti, uzluksizligi, differensiallanuvchiligi, integrallanuvchiligi va hokazo) o`rganiladi. Bu xossalarni o`rganishda funksiyaning u bo`yicha limiti va unga intilish xarakteri muhim rol o`naydi.
funksiya D to`plamda berilgan , esa E to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-Ta`rif. Agar olinganda ham ( uchun) shunday topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi uchun

bo`lsa, u holda funksiya funksiyaning dagi limit funksiyasi deyiladi.
funksiya to`plamda berilgan bo`lib, nuqta Ye to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
2-Ta`rif. Agar olinganda ham ( uchun) topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi uchun

bo`lsa, u holda funksiya funksiyaning dagi limit funksiyasi deyiladi.
Limit funksiya ta`rifidagi ning faqat gagina bog`liq qilib tanlanishi mumkin bo`lgan hol muhimdir.
3-Ta`rif. to`plamda berilgan funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`lsin. Agar uchun topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi lar uchun

bo`lsa, funksiya o`z limit funksiyasi ga da tekis yaqinlashadi deyiladi.
4-Ta`rif. to`plamda berilgan funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`lsin. Agar , olinganda ham va tengsizlikni qanoatlantiruvchi topilsaki, ushbu

tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya ga notekis yaqinlashadi deyiladi.
1-Teorema. (Koshi kriteriyasi) funksiya da limit funksiya ga ega bo`lib, unga tekis yaqinlashishi uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarlidir: uchun topiladiki, , tengsizliklarni qanoatlantiruvchi hamda uchun

tengsizlik bajariladi.
Endi parametrga bog`liq integrallarning funksional xossalarini keltiramiz.
2-Teorema. Agar

1. 
   fiksirlangan uchun
   
2. 
   da funksiya ga tekis yaqinlashsa,
   

u holda
(5)
bo`ladi.
3-Teorema. Agar funksiya

to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda

funksiya kesmada uzluksiz bo`ladi.
4-Teorema. Aytaylik funksiya

to`plamda aniqlangan va

1. 
   fiksirlangan uchun
   
2. 
   va
   

bo`lsin. U holda kesmada mavjud va ushbu
(6)
tenglik o`rinli bo`ladi.
5-Teorema. Agar funksiya 3-teorema shartlarini qanoatlantirsa, unda integral mavjud va
(7)
munosabat o`rinlidir.
Endi umumiy ko`rinishda berilgan parametrga bog`liq integrallarni keltiramiz.
Faraz qilaylik, funksiyalar da aniqlangan bo`lib, uchun
(8)
munosabat bajarilsin.
6-Teorema. funksiya ushbu

to`plamda aniqlangan bo`lib,

1. 
   
   
2. 
   
   

bo`lsin. U holda
(9)
funksiya ham oraliqda uzluksiz bo`ladi.
7-Teorema. (Leybnis formulasi) Agar

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   va
   

bo`lsa, u holda funksiya ham oraliqda hosilaga ega va
(10)
munosabat o`rinlidir.
6-teorema shartlari bajarilgan holda funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi va (9)-funksiya uchun ham (7)-tenglik kabi tenglik o`rinli bo`ladi.