Funksiya limiti, limitlar haqidagi teoremalar

Mavzu. FUNKSIYA LIMITI, LIMITLAR HAQIDAGI TEOREMALAR

Reja

1. To‘plamning limit nuqtasi.

2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.

3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.

Tayanch so’zlar: To‘plamning limit nuqtasi, funksiya limiti, funksiya uzluksizligi, tekis uzluksiz funksiya.
1. To‘plamning limit nuqtasi.

Aytaylik, biror  to‘plam va  nuqta berilgan bo‘lsin.

1-ta’rif.  Agar  nuqtaning ixtiyoriy

, 

atrofida  to‘plamning  nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa,  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.

Misollar. 1.  to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.

2.  to‘plamning har bir nuqtasi va  nuqtalar shu to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi.

3.  to‘plamning limit nuqtasi  bo‘ladi.

4.  to‘plam limit nuqtaga ega emas.

2-ta’rif. ([2], p. 82. Item 3.3.3) Agar  nuqtaning ixtiyoriy

  

o‘ng atrofida (chap atrofida)  to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,  nuqta  to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi deyiladi.

3-ta’rif. Agar ixtiyoriy  uchun

to‘plamda  to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,   to‘plamning limit “nuqta”si deyiladi.

Agar ixtiyoriy  uchun

to‘plamda  to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa,   to‘plamning limit «nuqta»si deyiladi.

Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan.

2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.

Faraz qilaylik,  funksiya  to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta  to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin.  nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy :

 

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.

3-ta’rif. (Geyne). Agar  da   bo‘ladigan ixtiyoriy  ketma-ketlik uchun  da  bo‘lsa,  ga  funksiyaning  nuqtadagi limiti deyiladi va  da  yoki
kabi belgilanadi.

Eslatma. Agar  da

  va  

bo‘ladigan turli ,  ketma-ketliklar uchun  da , bo‘lib,  bo‘lsa  funksiya  da limitga ega emas deyiladi.

1-misol. Ushbu

funksiyaning  nuqtadagi limiti topilsin.

Quyidagi :

 

ketma-ketlikni olaylik. Unda

bo‘lib,  da  bo‘ladi. Demak,

4-ta’rif. (Koshi). Agar  son olinganda ham shunday  topilsaki,  uchun

tengsizlik bajarilsa,  soni  funksiyaning  nuqtadagi limiti deyiladi:

.

Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:

, , : 

bo‘lsa, .

2-misol.  bo‘lsin. Bu funksiya uchun

bo‘ladi.

3-misol. Ushbu  funksiyaning  nuqtadagi limiti 2 ga teng ekani ko‘rsatilsin.

 soniga ko‘ra  deb olsak, u holda   tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy  da

bo‘ladi. Demak, 

5-ta’rif.  Agar  son olinganda ham shunday  son topilsaki,  uchun  tengsizlik bajarilsa,  funksiyaning  nuqtadagi limiti  deb ataladi va

kabi belgilanadi.

Masalan,

, 

funksiya uchun

bo‘ladi.

Aytaylik,  funksiya  to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 6-ta’rif.  Agar  son olinganda ham shunday  topilsaki,   uchun

tengsizlik bajarilsa,  soni  funksiyaning  dagi limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

4-misol. Aytaylik, , ,  bo‘lsin. U holda

bo‘ladi.

 Haqiqatan ham,  sonnni olaylik. Ravshanki,  uchun

.

Demak,  deyilsa, unda  uchun

bo‘ladi.

 Koshi ta’rifiga ko‘ra  soni  funksiyaning  nuqtadagi limiti bo‘lsin:

Unda

Bo‘lganda

(1)

bo‘ladi.  nuqta  to‘plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko‘ra  ketma-ketlik topiladiki,  da   bo‘ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan

(2)

bo‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan  uchun

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa  sonini Geyne ta’rifi bo‘yicha  funksiyaning  nuqtadagi limiti ekanini bildiradi.

Endi  soni Geyne ta’rifi bo‘yicha  funksiyaning  nuqtadagi limiti bo‘lsin.

Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni  funksiyaning  nuqtadagi limiti Geyne ta’rifi bo‘yicha  ga teng bo‘lsa ham, Koshi ta’rifi bo‘yicha limiti bo‘lmasin. Unda biror  uchun ixtiyoriy  son olinganda ham  ni qanoatlantiruvchi biror  da

bo‘ladi.

Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi {} ni olaylik:

 da  .

U holda

bo‘ladi. Ammo , da , demak, Geyne ta’rifiga asosan

bo‘ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak,  soni Koshi ta’rifi bo‘yicha ham,  funksiyaning  nuqtadagi limiti bo‘ladi.

Funksiyaning o‘ng va chap limitlari. Aytaylik,  funksiya  to‘plamda berilgan,  nuqta ning chap limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.